導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇高等數(shù)學實際應用，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類號： G642;O13-4 文獻標識碼： A 文章編號： 1673-1069（2016）30-138-2

0 引言

高校高等數(shù)學是一門比較重要的基礎課程，其教學內(nèi)容和教學方法大多都是一成不變。傳統(tǒng)教學模式教學目標比較單一，具有約束性，過于追求概念、理論的理解，學生課堂自主活動整體缺失，僅僅注重對學生計算、抽象思維及邏輯推理能力的重點培養(yǎng)，關(guān)于數(shù)學問題在實際生活的應用，卻有所忽視，這樣有實際問題出現(xiàn)之后，學生便難以找出處理的對策及方法。傳統(tǒng)教學過程中，我們僅僅能夠看出學生對知識內(nèi)容學習的追求，卻難以找出學生對知識探索的追求，學生僅僅是對知識的理解與記憶，卻不敢對知識提出質(zhì)疑與深層探究。然而，隨時社會的快速發(fā)展與進步，很多社會問題需要創(chuàng)新能力強的人才來進行解決，由此可見，高等數(shù)學改革之路不得不進行下去。

1 傳統(tǒng)高等數(shù)學教學中存在的問題

1.1 教材與教學的內(nèi)容不切實際

從當前情況來看，有很多高校在高等數(shù)學課程開展時，所使用的教材體系、內(nèi)容相對較為落后，但是卻依舊對學生邏輯推理與抽象思維能力有著過分追求，在學生創(chuàng)新能力與解決實際問題能力培養(yǎng)上，依舊沒有完成體系，甚至遭到了很多學校的忽視，進而使得學生在學習高等數(shù)學時的興趣提不起來，使其在學習過程中感到乏味、無聊。

1.2 教學理念過于落后

傳統(tǒng)的高等數(shù)學的基本教育理念以講授為中心，在課堂教學中強調(diào)對知識的灌輸，教師填鴨式的滿堂灌，這樣使學生在學習知識時處于一個被動的狀態(tài)，使得學生在學習時，缺乏熱情及動力，這樣所培養(yǎng)出來的學習，僅僅能夠完成對知識的記憶，在創(chuàng)新能力培養(yǎng)上，得不到一點提升，因此無法滿足社會發(fā)展的需求。更難以滿足應用型人才的培養(yǎng)模式，因此需要完成對新方法的探究，完成新型教學理念的創(chuàng)造與完善。

1.3 教學模式和教學方法落后

高等數(shù)學教學還沒有與現(xiàn)代科學技術(shù)有效地結(jié)合。在教學過程中，會受到很多因素的限制，當前，教學過程依舊維持原有模式，這與現(xiàn)代教學觀念與思想存在很大出入，有很多高等院校高等數(shù)學教學模式依舊采取板書進行，這與科技發(fā)展相比較，就顯得十分落后，課堂上缺乏生動活潑的學習氛圍，導致學生缺乏對高等數(shù)學學習的興趣。

1.4 考核方式比較單一，不合理

雖然高等數(shù)學多次進行了改革嘗試，也只是增加了平時成績、課堂考察、課后作業(yè)等，但是最終的期末考試成績當中，筆試占據(jù)了較大比重，通常考試的題目，均是學生做過的練習題，這些練習題有很多都是單純的數(shù)學題目，通過這種方式對學生成績進行考核，顯得十分簡單，沒有對學生知識應用能力做到有效考核，進而難以展現(xiàn)出學生對知識的掌握程度，使得很多學生會以應付考試來學習，喪失了高等數(shù)學教學的內(nèi)在初衷，使得學生學習喪失主動性。

2 應用型人才培養(yǎng)模式下高等數(shù)學教學改革探索

2.1 教學理念和教學設計要與時俱進

第一，在以往傳統(tǒng)的教學理念下，對學生傳授的知識比較片面。因此，應當加強對學生數(shù)學思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng);第二，在課堂上學生與教師之間要多進行交流，以往的教學方式教師講解比較單一，并且對學生進行單向提問，導致學生缺乏主動性。所以，要加強師生之間雙向互動，讓學生自主探索、參與與實踐從而達到解決問題的目的;第三，要重視學生的差異性，增加課程選擇性的靈活度，應適應不同學生的發(fā)展需求，因材施教;第四，不能依據(jù)單一的分數(shù)評價來判斷學生的學習情況，需要多角度、定性和定量相結(jié)合的、激勵性的進行考核評價;第五，對于基礎知識的教學課時、授課難度、冗長的計算環(huán)節(jié)可以適當?shù)剡M行減少，增加實驗環(huán)節(jié)的教學課程以及課程選擇的靈活度，重視學生數(shù)學思想的培養(yǎng)，適應學生的不同發(fā)展需求。

2.2 選用適合或者自編的應用型教材

培養(yǎng)應用型人才需要適合的教材。教材中應該具有基本的定理、概念、公式等重點知識，還要重視高等數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，可以根據(jù)學生在專業(yè)課學習中遇到的數(shù)學問題，在教材中編入選擇的例題、習題等等，使教材更加具有實用性。嘗試把教材進行“精簡化”，提取原有教材的一些精華。可以根據(jù)不同層次的學生因材施教，以滿足不同專業(yè)、各類學生的不同需求。

2.3 及時更新教學方法，提高教學效果

根據(jù)應用型本科人才培養(yǎng)下學生的實際情況，以基本定義、定理作為教學的重點，讓學生在掌握基本理論的同時還能理解和掌握數(shù)學的基本思想方法和應用技巧，加大力度培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，激發(fā)學生運用數(shù)學知識解決問題的興趣，從而提高學習的積極性。教學過程中注意采用“少而精”“啟發(fā)式”“探究式”的教學方法。在習題課中盡量采用討論式的教學方法，堅持精講多練。增加學生練習的時間，與此同時培養(yǎng)學生的自主學習能力，并逐步適應現(xiàn)代網(wǎng)絡技術(shù)發(fā)展需要，使用多媒體、MOOC觀摩教學，不斷提高教學質(zhì)量。

2.4 開設高數(shù)基地班重視實踐教學

做好實踐教學環(huán)節(jié)的有效開展，當學生對每日教學任務完成之后，可以通過高數(shù)基地班的開展，讓學生能夠參與到數(shù)學競賽或是建模等社會實踐活動當中，進而使學生能夠利用其所學習到的知識，完成實踐活動。競賽與數(shù)學建模等實踐活動在開展過程中，能夠使學生很好的參與進來，同時充分感受到數(shù)學知識與實際應用之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生的數(shù)學應用能力與實踐能力得到有效提升，這樣一來，便能夠使得高等數(shù)據(jù)不僅能夠體現(xiàn)出數(shù)學的素質(zhì)教育，有能夠體現(xiàn)出專業(yè)性。有利于應用型人才的大力培養(yǎng)。

2.5 考核的方式要多元化

篇2

許多大經(jīng)濟學家同時又是大數(shù)學家，數(shù)學與經(jīng)濟有著密不可分的聯(lián)系。分別獲得1970年和1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎的薩繆爾森和希克斯是因他們用數(shù)學方式研究一般經(jīng)濟均衡體系而著稱。而最終在1954年給出一般經(jīng)濟均衡存在性的嚴格證明的是阿羅和德布魯。他們對一般經(jīng)濟均衡問題給出了富有經(jīng)濟含義的數(shù)學模型，利用1941年日本數(shù)學夾角谷靜夫?qū)?911年發(fā)表的荷蘭數(shù)學家布勞維爾提出的不動點定理的推廣，才給出的經(jīng)濟均衡價格體系的存在性證明。他們倆人也因此先后于1972年和1983年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎。可見數(shù)學知識在經(jīng)濟研究中的重要性。我們下面從數(shù)學分析、高等代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、模糊數(shù)學、泛函分析等幾門數(shù)學專業(yè)課進一步說明這一點。

一、數(shù)學分析在經(jīng)濟中的應用

1.極限部分的應用

經(jīng)濟中，極限是由離散情形推廣到連續(xù)情形的一種常用思想。例如：假設數(shù)額A以年利率R投資了n年，如果每年計m次利率，則終值為。當m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復利。在連續(xù)復利情況下，數(shù)值A以利率R投資n年后，將達到:

即（重要極限）

2.微積分學部分在經(jīng)濟中的應用

微分學是與經(jīng)濟學聯(lián)系最緊密的一部分。數(shù)學分析中的條件極值的必要條件在經(jīng)濟中有所應用。一元函數(shù)微分和多元函數(shù)全微分在經(jīng)濟中都是屢見不鮮的。例如彈性、邊際效用、規(guī)模報酬、柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)、拉弗橢圓、貨幣乘數(shù)、馬歇爾－勒那條件、李嘉圖模型等無數(shù)的經(jīng)濟概念和原理是在充分運用導數(shù)、積分、全微分等各種微積分知識構(gòu)建的。金融經(jīng)濟學中一階隨機占優(yōu)定理和二階隨機占優(yōu)定理中不僅涉及到微積分而且涉及到概率統(tǒng)計。

例如（一階隨機占優(yōu)定理）設為兩個只取有限區(qū)間中的值的隨機變量，和分別為它們的分布函數(shù)，那么一階隨機占優(yōu)于的充要條件為

證明：所謂一階隨機占優(yōu)于，是指對于上述函數(shù)類中的任何有，

即但由分部積分法

其中我們要注意到，由于F-G實際上只在一個有限區(qū)間中不為零，上述的積分其實都是只在有限區(qū)間中進行的。這一等式對于任何非負可測函數(shù)成立。考慮到隨機變量的分布函數(shù)都是右連續(xù)左有極限的遞增函數(shù)，容易證明，最后一個表達式非負的充要條件為。

二、高等代數(shù)在經(jīng)濟中的應用

高等代數(shù)作為一個將復雜多元方程簡單化求解的數(shù)學工具，對分析多種變量相互影響而產(chǎn)生復雜經(jīng)濟現(xiàn)象的經(jīng)濟學的貢獻可謂是不言而喻的。比如欲預測10年后某地區(qū)的房屋價格，可通過搜集人均收入、土地價格、建筑原材料價格等多種變量的基期數(shù)據(jù)，用假定和計量的方法、統(tǒng)計學的知識分析房屋價格與各因素的相關(guān)程度并用高等代數(shù)的數(shù)學方法解多元線性方程組，從而計算出相應公式，再加入通貨膨脹、利息率等現(xiàn)實因素，便可大致模擬出10年后該地的房屋價格。

三、概率與數(shù)理統(tǒng)計在經(jīng)濟中的應用

概率論在保險學中得到最強勢的發(fā)揮。金融經(jīng)濟學中用到隨機變量的數(shù)學期望、方差、協(xié)方差等。要通過基本概率論的概念才能來理解隨機游走、布朗運動、隨機積分、伊藤公式等概念。概率論中的隨機游走概念和-域的概念在有效市場理論中起本質(zhì)作用。布萊克-肖爾斯期權(quán)定價理論需要概率論中的中心極限定理，它的證明涉及隨機變量的特征函數(shù)等概念，還涉及隨機序列、鞅等概念。又例如切比雪夫大數(shù)法則：設是由相互獨立的隨機變量所構(gòu)成的序列，每一隨機變量都有有限方差，并且它們有公共上界:,則對于任意的，都有:

這一法則的結(jié)論運用可以說明，在承保標的數(shù)量足夠大時，被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相等。這個結(jié)論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。

四、模糊數(shù)學在經(jīng)濟中的應用

當上市公司信用評價中的綜合分析評價法的各因素具有模糊概念時，權(quán)重就帶有模糊性。這時如利用普遍的方法就不可避免地帶有片面性和主觀性。而模糊數(shù)學就是利用數(shù)學方法來處理客觀實際和人類主觀活動中存在的模糊現(xiàn)象，于是借助模糊數(shù)學的經(jīng)濟評價方法就隨之產(chǎn)生。綜合評價法一方面集合了AHP法與專家調(diào)查法在財務指標評價方面的優(yōu)勢，另一方面發(fā)揮了模糊評價方法在具有模糊性的指標評價中的獨特作用，因而它能更客觀地、更全面地對上市公司的信用進行評價。

五、數(shù)值分析在經(jīng)濟中的應用

若衍生證券估值沒有精確解析公式時，可用數(shù)值計算方法。包括二叉樹圖方法、蒙特卡羅模擬方法和有限差分方法。

六、泛函分析在經(jīng)濟中的應用

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一、高等數(shù)學分層次、分模塊教學，改革教學內(nèi)容

課程建設與改革是提高教學質(zhì)量的核心，要加大課程建設與改革的力度，增強學生的職業(yè)能力，這表明高等數(shù)學課程建設與改革勢在必行。關(guān)鍵是如何建，如何改的問題，結(jié)合課程的基本要素，構(gòu)建“三橫四縱”的課程建設與改革框架，以數(shù)學素養(yǎng)為導向，以目標、內(nèi)容、方法和評價為要素，以思想理念、師資隊伍和模式創(chuàng)新為依托的高等數(shù)學課程改革新思路，為了實現(xiàn)課程改革的目的，必須對課程目標進行新的定位，目標既要體現(xiàn)高等數(shù)學的特征，又要適合職業(yè)教育的背景，既要注重知識的學習，更要加強能力、情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)；既要為專業(yè)服務，更要發(fā)揮育人的功能。

高等數(shù)學是高職院校機電類、計算機類、汽車類、經(jīng)管類等專業(yè)開設的一門文化基礎課，高等數(shù)學具有很強的通識性、經(jīng)驗性、適用性和工具性，但不同專業(yè)對高等數(shù)學知識的要求有所差異，特別是新型產(chǎn)業(yè)的成長和發(fā)展，引發(fā)新型專業(yè)的誕生和出現(xiàn)，它們對數(shù)學的需求又有新的變化，例如應用電子專業(yè)對高等數(shù)學要求是掌握本專業(yè)必備的微積分、行列式、矩陣等數(shù)學分析知識，能夠分析和計算電路參數(shù)，城市軌道交通專業(yè)是新增專業(yè)，對高等數(shù)學提出新要求，在掌握微積分基礎上增加概率論基礎、統(tǒng)計推斷等內(nèi)容，通過學習培養(yǎng)學生用數(shù)學分析的方法解決工程問題的能力，為以后學習專業(yè)基礎課和專業(yè)課以及將來從事工程設計奠定基礎。所以在教學中，如何把共性與差異體現(xiàn)出來，把傳統(tǒng)數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學結(jié)合起來，這需要在內(nèi)容的組織與架構(gòu)上創(chuàng)新。

融入專業(yè)形成特色，教師更清楚地認識到，高等數(shù)學課程必須解決好如何培養(yǎng)學生的職業(yè)核心能力，以及對專業(yè)的服務和支撐作用，因此，不同專業(yè)的發(fā)展方向不同，按專業(yè)要求，兼顧自身體系，增設數(shù)學實驗課程，分層次、分模塊進行教學，按照專業(yè)大類分成A、B、C三個層次，每一專業(yè)一個教學模塊包，讓教學內(nèi)容更有針對性、靈活性、有效性。

二、創(chuàng)建高職特色的高等數(shù)學教學模式

依據(jù)高職教育的培養(yǎng)目標，高等數(shù)學應以應用為主旨和特征，構(gòu)建教學內(nèi)容體系，同時探索適應高職特色的高等數(shù)學教學模式，不僅要為學生進一步開展專業(yè)訓練提供基礎，也要為未來可能的崗位轉(zhuǎn)換提供基礎，努力使高等數(shù)學課程最大程度地發(fā)揮它應有的重要作用。

1.創(chuàng)建“引導式”教學模式

改變以往教師盡其能將問題講透、講細的滿堂灌教學方式，現(xiàn)在注重引問題、理思路、講方法，鼓勵學生上臺講演自己的研究成果。課堂上講解、討論和演示，課外探索、交流和自測，各教學環(huán)節(jié)中激發(fā)學生的主體意識，運用多種教學手段，提高學生的實踐能力與創(chuàng)新能力。

2.創(chuàng)建“模塊+案例+實驗”教學模式

現(xiàn)代計算機科學的飛速發(fā)展為我們提供了大量適用的先進的數(shù)學軟件，可充分利用這些數(shù)學軟件解決學習上的繁雜計算，省掉大量的計算時間，集中精力理解概念，突破應用，將如何操作數(shù)學軟件納入常規(guī)教學，開設數(shù)學實驗課，同時將專業(yè)案例引入到教學中，將專業(yè)案例、數(shù)學實驗和理論知識融為一體，理實一體化教學，利用數(shù)學知識，采取實驗手段，解決專業(yè)問題。如《電工基礎》的案例，在具有 n個結(jié)點， b條支路的電路中，求出支路電流、各元件的功率以及結(jié)點間的電壓。已知電源和電阻參數(shù)，各支路的電流為未知數(shù)，根據(jù)基爾霍夫定律列出三元線性方程組，并且系數(shù)為小數(shù)，用初等數(shù)學的消元法和代入法比較繁瑣，有沒有其它更有效的方法呢？解線性方程組可以利用行列式或矩陣，使用Matlab軟件工具求解，達到了方便、快捷的目的，充分發(fā)揮了數(shù)學軟件強大的計算功能。

三、創(chuàng)新教學方法

在上述教學模式中，由于打破了理論教學與實踐教學的界限，形成了與以往完全不同的教學模式，因此傳統(tǒng)的課堂教學方法已不能滿足教學要求，必須尋找一種與之相適應的、適合職業(yè)教育的新型教學方法。

推行有效教學新方法是高等數(shù)學教育的核心環(huán)節(jié)。專業(yè)的差異和發(fā)展需求的多元化，有效選擇分層教學法、分類教學法、分段教學法、問題情景教學法、主題式教學法、探究式教學法、課前預習向?qū)浇虒W法、角色互換式教學法、口訣式教學法、計算機技術(shù)輔助教學法等教學方法，有機組合，就能達到事半功倍的教學效果。

教學有法，但無定法，貴在得法，凡能激發(fā)學生學習欲望，提高教學效率的方法，都應該進行大膽的嘗試。

總之，基于專業(yè)視角的高等數(shù)學教學改革正朝著知識和素質(zhì)培養(yǎng)的有機統(tǒng)一、數(shù)學與專業(yè)相融合的方向發(fā)展；高等數(shù)學教學不僅要使學生學到重要的數(shù)學概念和方法，還應學會將其應用到相關(guān)專業(yè)和實際問題中，重視數(shù)學實驗教學，利用數(shù)學軟件Matlab的強大功能解決實際問題，在今后的教學中隨著改革的不斷深化，高等數(shù)學教學改革定會卓有成效。

參考文獻：

[1]陶金瑞，劉俊先.高職高等數(shù)學教學改革對學生能力的培養(yǎng)及作用[J].中國成人教育，2010（04）：126-127.

[2]白素英.線性代數(shù)[M].沈陽：遼寧大學出版社，2007.53-54.

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圍繞“如何能使高三的專題復習課更加有效”這一主題，2012年10月14日，本人在我校高中數(shù)學教研組主題研討會上開了一段片段教學“應用基本不等式求最值問題”，以下呈現(xiàn)該片段教學的教學設計，希望能與同行進行交流，以期拋磚引玉。

一、教學目標

（1）知識目標：熟練理解掌握課本兩個基本不等式，并能靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

（2）能力目標：培養(yǎng)學生的觀察分析，拓展延伸，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論與新方法的能力;培養(yǎng)學生抽象概括，轉(zhuǎn)化化歸以及應用數(shù)學知識解決問題的能力。

（3）情感態(tài)度與價值觀：課堂教學中，學生通過對基本問題與基本方法的觀察分析，拓展延伸，培養(yǎng)了細心觀察，敢于探索，大膽發(fā)現(xiàn)的科學創(chuàng)新精神與能力。循序漸進的問題設置，激發(fā)了文科學生學習數(shù)學的自信心與積極性，提高了學習效率。

二、教學重點

基本不等式的回顧與拓展，靈活選用基本不等式解決一類求最大與最小值的問題。

三、教學難點

（1）理解應用基本不等式求最值的三個條件：“一正、二定、三相等”。

（2）靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

四、學生特征分析

教學對象是高三文科班學生，數(shù)學基礎相對較弱;從學習數(shù)學的心理角度分析，相當部分學生害怕數(shù)學。學習方式更趨于背與記，思維不夠靈活，學習數(shù)學效率較低。比較適合的教學方式是教師表達數(shù)學方式通俗易懂，如教師語言通俗易懂，錯綜復雜關(guān)系，抽象問題借助圖表表述使其更生動形象等。問題的設置簡單精致而內(nèi)涵豐富，教學過程循序漸進等。

五、教學方法

引導學生回顧基本不等式及成立的條件，并在此基礎上啟發(fā)學生探討幾個基本不等式的內(nèi)在聯(lián)系，進一步發(fā)現(xiàn)新的不等式及在解決數(shù)學問題中的應用;在對例題的分析過程中，引導學生在對已知條件分析透徹的前提下恰當進行問題轉(zhuǎn)換。求最值問題的關(guān)鍵是鎖定目標函數(shù)，根據(jù)題設條件與目標函數(shù)的特征靈活選擇基本不等式求目標函數(shù)的最值。

六、本節(jié)課的構(gòu)想

本片段教學構(gòu)想分成兩部分，其一：加深對基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引導學生對基本不等式進行回顧的基礎上，引導學生對基本不等式的簡單證明、成立的條件進行理解與分析，然后進一步引導學生揭示基本不等式的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新的基本不等式及其應用。目的在于使復習課能夠以點帶面，夯實基礎，形成知識體系;其二：靈活選用基本不等式解決最值問題。應用基本不等式解決有關(guān)最值的問題是新教材、新課標、新考綱的要求，教學時，我根據(jù)文科學生的特點，設置一些學生熟悉的、簡單精致但蘊含豐富數(shù)學思想的問題，引導學生進行觀察、分析與轉(zhuǎn)化，讓學生學會如何根據(jù)題設條件靈活選用基本不等式來解決最值問題，提高學生分析與解決問題的能力，提高學習效率。

七、教學過程

過程1：引導學生對基本不等式進行回顧：

師：同學們，請你們回顧一下，我們學過哪些基本不等式呢？（教師板書）

預設：學生平時應用較多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）當且僅當a=b時取等號。

師：在應用基本不等式ab≤求最值時，常要求a>0，b>0，請同學們思考一下，a，b在實數(shù)范圍內(nèi)會成立嗎？為什么？

預設：在教師引導下，學生對不等式進行等價變形，能發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)不等式也會成立。

師：還有其他的基本不等式嗎？（學生疑惑）

師：我們來看看這幾個基本不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系：我們對這幾個基本不等式進行歸納，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系無非就是兩個數(shù)的和與積的關(guān)系，平方和與積的關(guān)系，我們用一個三角形的示意圖來揭示它們之間的關(guān)系如圖，這個圖引導我們進一步思考：兩個數(shù)的和與平方和之間有沒有一個不等式相聯(lián)呢？

師：能不能從a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）這個不等式上找到答案？觀察這個不等式，左邊已是平方和，右邊能否轉(zhuǎn)化為和？如何轉(zhuǎn)化？只要在不等式的左右兩邊同時加上a2+b2，就得到聯(lián)系平方和與和的不等關(guān)系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。補充結(jié)構(gòu)圖：

過程2：應用基本不等式求最值：

師：今天這節(jié)課我們來解決一個問題：靈活選用基本不等式解決有關(guān)最值的問題。

利用基本不等式求最值的方法的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數(shù)為正數(shù)）、二定（定值）、三相等（能取得到等號）

（2）當兩個正數(shù)的積為常數(shù)，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），當且僅當a=b時取等號。

（3）當兩個正數(shù)的和為常數(shù)，則這兩個正數(shù)的積有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），當且僅當a=b時取等號。

（4）當涉及兩個正數(shù)的平方和與積時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

（5）當涉及兩個正數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的和時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

過程3：典例分析

例1：已知一個直角三角形的斜邊長為2。

（1）求這個直角三角形面積的最大值;

（2）求這個直角三角形周長的最大值。

設計意圖：這個問題的設置是在研究課本例題的基礎上進行變式，克服學生的思維定勢，引導學生根據(jù)題設條件與目標函數(shù)的關(guān)系恰當靈活地選用基本不等式（選擇平方和與積以及平方和與和的不等關(guān)系）解決問題。

例2：若兩個正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3：

（1）求ab的范圍;

（2）求a+b的范圍。

設計意圖：培養(yǎng)學生觀察分析問題的能力，引導學生根據(jù)題設條件與問題靈活選用基本不等式（選擇和與積的不等關(guān)系）解決問題。其中滲透了已知與未知之間的轉(zhuǎn)化化歸思想（已知和與積的關(guān)系，要求積的范圍，如何把和轉(zhuǎn)化為積;要求和的范圍，又如何把積轉(zhuǎn)化為和）以及換元的思想。

例3：三角形ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求角B的范圍。

設計意圖：這個問題綜合性較強，涉及數(shù)列，三角函數(shù)，余弦定理及基本不等式知識，目的在于訓練學生綜合應用知識的能力。教學中，我引導學生把已知條件分析透徹，由已知：2b=a+c，給出的是三角形邊的關(guān)系。要求三角形角的范圍，引導學生思考：如何將三角形的邊與角聯(lián)系起來？三角函數(shù)！根據(jù)已知條件特點，將目標函數(shù)定為角B的余弦！

（當且僅當a=c時取等號），由余弦函數(shù)圖象，得角B的范圍為：

cosB===-≥-=（當且僅當a=c時取等號），由余弦函數(shù)圖象，得角B的取值范圍為：（0，]。

過程4：總結(jié)與提升：

引導學生對例題進行回顧與反思，提煉解題方法。

常見問題的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數(shù)為正數(shù)）、二定（定值）、三相等（能取得等號）

（2）當涉及兩個正數(shù)的和與積關(guān)系時，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

當且僅當a=b時取等號。

（3）當涉及兩個正數(shù)的平方和與積的關(guān)系時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

（4）當涉及兩個正數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的和的關(guān)系時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

篇5

注：武漢長江工商學院教研項目

獨立學院是經(jīng)國家教育部批準，具有獨立頒發(fā)學歷學位資格，以本科教學為主的普通高等學校.獨立學院招收的是三本學生，以教學為主，培養(yǎng)應用型和創(chuàng)新型人才是主要目標.

大學數(shù)學基礎課程，包含高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計.一方面，在這些基礎課程的教學中，傳統(tǒng)的教學方式就是講解公式定理、強調(diào)解題技巧，往往會讓學生倍感枯燥.學生不知道數(shù)學有什么用途，最終失去學習的動力和興趣，而數(shù)學課程的不及格率居高不下一直也是各個獨立學院難以解決的難題.另一方面，由于是死學數(shù)學，并不會應用數(shù)學方法，又阻礙了學生后繼專業(yè)課程的學習.為了解決這些問題，我選取部分工科專業(yè)，從如下幾個方面來進行高等數(shù)學的教學改革，取得了一定效果.

一、改革方案

1.引入上機實踐

在正常的教學中引入上機實踐環(huán)節(jié)，上機主要講解數(shù)學軟件來解決高等數(shù)

學中的基本計算，包括：極限、求導、積分、微分方程、級數(shù)求和.引入上機環(huán)節(jié)，并不是單獨開設數(shù)學實驗這門課程，而是在正常的教學中安排2～3次上機實踐即可，筆者主要使用Matlab進行教學.那么何時進行上機，以及上機教學的內(nèi)容是什么，這就值得思考.

筆者第一次上機安排在定積分教學結(jié)束以后，內(nèi)容是利用數(shù)學軟件來計算：極限、導數(shù)、不定積分、定積分.基本上就是解決一元微積分的基本計算問題，由于內(nèi)容比較多，而且軟件第一次上手，只需要認真講解軟件命令和使用方法即可，但完成后要求學生寫相應的實驗報告，以鞏固其學到的知識.第二次上機安排在多元函數(shù)微積分和級數(shù)之后，內(nèi)容是：微分方程、級數(shù)求和、偏導數(shù)、重積分.這次的重點在于如何將多元的問題轉(zhuǎn)換為多次一元的問題，軟件命令比第一次上機并沒有太多增加，如果教學時間比較充足，可以進一步舉些簡單的數(shù)學模型，讓學生對數(shù)學的應用范疇有更好的認識.

上機中盡量用簡單的命令來解決那些基本計算，使得學生從繁雜的數(shù)學計算中解放出來，讓他們明白其實可以利用計算機來代替，那么數(shù)學學習的關(guān)鍵應該是數(shù)學的分析方法和思想.由于上機次數(shù)少，要學生能很快地接受，基本上需要手把手地教，所以教學以50人左右為宜.筆者在實際的教學中，發(fā)現(xiàn)幾乎所有的學生都能很快地學會數(shù)學軟件求解出所需的結(jié)果.

2.教學內(nèi)容的改革

由于可以用數(shù)學軟件來輔助計算，那么課堂教學的內(nèi)容也應當相應的進行調(diào)整.首先，對于一些基本的數(shù)學概念和思想，應盡可能地利用通俗的方式來讓學生理解，并能和實際接軌，知道實際使用方法，比如導數(shù)多用于變化率、速率的計算.其次，降低課堂教學中計算題的難度，計算題只是數(shù)學理論的一方面應用和驗證，所以只需用一些基本函數(shù)為例，讓學生掌握手動計算的基本方法即可，而復雜的計算可以讓計算機來完成.最后，強化數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，比如重積分的教學重點就是如何轉(zhuǎn)化為多次定積分，再如微分方程教學重點應是如何建立微分方程.

這樣對于教學內(nèi)容的調(diào)整，降低了學生的學習難度，而且能夠加深學生的思考深度，同時可以吸引學生學習的興趣，讓學生從被動接受轉(zhuǎn)變到主動思考，大大地提高了學習的實際效果，提高了學生的應用能力.

3.考試方式的改革

僅僅是教學方式和教學內(nèi)容的改變是不夠的，還應當對考試方式進行改革.

為了體現(xiàn)教學效果，應當設計一份試卷，讓經(jīng)過教學改革的和沒有經(jīng)過教學改革的同學，考的是一樣的內(nèi)容，而答題方式可以有區(qū)別.

筆者在考試試卷上下工夫，進行了一番改變.將考試中的計算題部分變?yōu)榭梢杂密浖a代替計算過程，占試卷的30分.而其他考試內(nèi)容如果強調(diào)計算也是不行的，所以也有相應的調(diào)整，比如選擇題強調(diào)對各種數(shù)學基本原理和概念的理解，綜合題引入了三個應用題，總體而言降低了計算的難度，提高了應用能力的測試.

其實在條件充足的情況下，可以安排上機測試，這樣更能直接反映學生的應用能力，由于筆者所在學校情況所限，只能閉卷考試，所以才采用了上述考試方式.

二、改革的實踐過程

制定了上述的改革方案以后，我選擇了本學院的2011級電氣專科進行改革試點.本學院的電氣專科班剛好有兩個班，各約50人左右，班上的學生是隨機分配的，在入學時，學習能力和基礎知識，并不存在太多差異，所以選取了其中的電氣一班作為改革的試點，而電氣二班還是沿用以往的教學方式，用于對比.結(jié)果發(fā)現(xiàn)無論是從課堂的表現(xiàn)、學習興趣以及考試成績上來看，這兩個班都形成了鮮明的對比.

由于教學內(nèi)容的側(cè)重點不同，一班能夠從始至終跟著老師的上課節(jié)奏，而且十分有興趣地探索數(shù)學的應用方法，整個班的學習狀況比較均衡，基本都能保持全勤；而二班的同學很快就出現(xiàn)了兩極分化，而且由于過分強調(diào)計算，顯得課堂不夠活躍，學習的狀況完全不如一班，而且后期還出現(xiàn)不少曠課、早退等不良的學習情況，和以往幾屆的學生如出一轍.

由于事先精心設計了考試試卷，導致兩個班考試內(nèi)容是一樣的，唯一的區(qū)別是一班可以在計算題部分用軟件命令代替計算過程.雖然對計算機命令的判定采用了非常嚴格的方式，但是大部分同學都有很高的得分率，最終一班的同學平均卷面得分為67.94，遠遠超過二班的55.87，具體統(tǒng)計量表格如下：

為了檢驗兩個班的成績是否是服從正態(tài)分布，所以用spss中非參數(shù)檢驗的k-s檢驗，發(fā)現(xiàn)兩組學生成績分別為正態(tài)分布的概率遠遠大于0.1，可以認為是服從正態(tài)的.接下來就可以使用單因素方差分析來判定兩個班學生成績是否有顯著差異.發(fā)現(xiàn)兩個班的成績沒有差異的概率小于0.01，說明兩個班同學的成績具有顯著差異.

從這個考試成績上來看，教學改革取得了明顯的效果，進行教學改革的一班不僅平均成績高，而且成績分布比較集中，絕大多數(shù)的同學都能及格，并且這一成績比以往幾屆的學生都要好.但是另一方面，考試中的最高分和最低分都出現(xiàn)在二班，也屬于情理之中.

從實際的應用能力來看，據(jù)專業(yè)課教師反映，改革試點的一班的課程設計普遍比二班要好，而且明顯的動手能力強、反應快.而在后續(xù)的全國大學生數(shù)模競賽中，本學院共6名專科生參賽，其中一班有5人，而二班僅1人，從側(cè)面反映出教學改革的確對于提高學生的應用能力有很大幫助.

三、總結(jié)和思索

篇6

筆者由于多年從事歌唱藝術(shù)語言發(fā)聲技巧訓練課和聲樂課教學，養(yǎng)成了一個職業(yè)習慣，特別留意人的用嗓狀態(tài)和發(fā)聲方法。經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些人，尤其是中小學老師，甚至音樂老師，經(jīng)過幾年的教學實踐，都不同程度地患有嗓音職業(yè)病——慢性咽炎、喉炎、聲帶息肉、聲帶小結(jié)。表現(xiàn)為聲音嘶啞、粗糙、干澀，音質(zhì)不純凈、聲音不集中、沒有穿透力等，我對此深感憂慮。在幾年的寒暑期繼續(xù)教育培訓教學過程中，也常常發(fā)現(xiàn)許多學員們都是啞著嗓子回來進修，問及此事，學員們都反映課時太多，課外活動中用嗓過度，不知怎樣用嗓等，由此，更感到事情的嚴重性。于是，便產(chǎn)生出給學員們開設歌唱語言發(fā)聲技術(shù)訓練課的想法，以講座形式，抽出歌唱語言發(fā)聲技巧訓練中，語言發(fā)聲技術(shù)的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，將氣、聲、字結(jié)合等行之有效的方法，進行講解練習，學員們反映良好，紛紛上臺要求老師指導，自己親身實踐和體會一下。講座結(jié)束后，學員們還不肯離去，提出有關(guān)嗓音發(fā)聲技巧的許多問題以及迫切想了解和掌握這方面知識的強烈愿望。根據(jù)學員們反映的情況和問題，結(jié)合自己多年的歌唱藝術(shù)語言發(fā)聲訓練課的工作實際和經(jīng)驗，于是，有了一個大膽的想法，能否將歌唱語言發(fā)聲技術(shù)訓練課推廣應用于高等師范教學中？像推廣普通話那樣，讓從事師范教育的學生在走上工作崗位之前就學會如何科學用嗓、合理護嗓的方法和手段，掌握這一防身治病的武器，減少或防止這類職業(yè)病的發(fā)生，不失為一項百利無害的好事，并且具有非常現(xiàn)實的意義。

二、在高師開設歌唱語言發(fā)聲技術(shù)訓練課的必要性

1．素質(zhì)教育和審美教育的需要

語言是教育的載體。在大力提倡素質(zhì)教育和美育教育的今天，教師的語言美、嗓音美與教師講課水平及普通話發(fā)音是否標準同樣重要。有人說：“教學既是一門科學又是一門藝術(shù)”，教學中不僅需要運用大量的公式、定理、原理等等進行科學的驗算與求證，而且還需要教師運用教學的科學與教學的藝術(shù)使學生在教育的潛移默化中德育、智育和美育都得到提高。這其中，用于承載教學語言的嗓音是學生們最直接感知和引起注意和興趣的關(guān)鍵，教師的嗓音美，聲音的悅耳動聽，標準的普通話發(fā)音加之栩栩如生、深入淺出的講解，無異對學生是最好的美的教育和熏陶。然而，怎樣才能使教師嗓音既悅耳動聽又能持久不疲勞，這就需要掌握用嗓的科學和用嗓的藝術(shù)了。嗓音訓練是一門技術(shù)也是一門藝術(shù)，更需要用科學的方法反復不斷地進行實踐，使之形成一種穩(wěn)定而正確的條件反射，一種趨于自然而又生活化的語言形式。我們要用科學的發(fā)聲方法訓練嗓音，用藝術(shù)的嗓音向?qū)W生傳授科學的知識，培養(yǎng)學生的審美意識和鑒賞美、創(chuàng)造美的能力；用動聽的語言來正確表述教學內(nèi)容，以達到學生智育的提高與審美教育的同步發(fā)展，以及教師教學技術(shù)與教學藝術(shù)的同步發(fā)展的藝術(shù)境界。因此，在高等師范教學中開設歌唱語言發(fā)聲技術(shù)訓練課，使我們未來的人民教師在走上工作崗位之前就學會如何科學用嗓、合理護嗓的方法是十分必要的。

2．教師教學的需要

我們經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)一些教師，經(jīng)驗豐富、教學效果好，很受學生歡迎，可就是一副啞嗓子美中不足，不僅學生們聽著不美，教師自己也十分痛苦和苦惱。教師的職業(yè)特點決定著教師必須以嗓音為媒介進行知識傳播。普通話和板書是師范教育中學生必須掌握和達標的技能之一，然而我認為，科學用嗓這門技術(shù)更應該是中小學教師和師范生必須掌握和具備的基本素質(zhì)之一。如果我們的高師培養(yǎng)出來的人民教師都是以那種嗓音沙啞的狀態(tài)進行教學或是將來以那種結(jié)果結(jié)束其教育生涯，那是我們做教師的悲哀，也是我們高等師范教育的悲哀。由此，使我想起貓教虎斗的故事。貓教老虎各種擒拿格斗、捕捉獵物的方法，老虎學會后反而用這些招術(shù)要吃掉貓，貓急了，一躍上了樹，老虎問貓，這招兒我怎么不會？貓說上樹這招兒教給你我不就被你吃掉了嗎？我們的教學就像這貓教虎斗一樣（比喻得不一定準確，但很形象），教師們把自己掌握的知識才學都教給了學生，可就是沒有給自己訂做一套防護自身的武器。可以說，我們學生掌握到的知識，是以我們廣大教師失去優(yōu)美嗓音為代價換來的。雖說教師的職業(yè)被譽為是“點燃自己，照亮別人”的偉大職業(yè)，但是，失去了想點燃自己的嗓音，也就無從談起照亮別人。歌唱語言發(fā)聲技術(shù)是一門科學用嗓的專門技術(shù)，可以說它就是我們廣大教師保護嗓子的秘密武器，學會了它就等于學會了貓上樹的奇招，既能防衛(wèi)也能防御，更利于教學活動的開展。因此，在高師開設歌唱語言發(fā)聲技術(shù)訓練課是必要的，也是必須的，更是迫在眉睫的。 轉(zhuǎn)貼于

三、開設歌唱語言技術(shù)訓練課的可行性

1． 師資與設備

在高師開設歌唱語言發(fā)聲技術(shù)課首先遇到的問題就是師資問題。大量的師資缺口急待解決。學校師資來源可以由經(jīng)過培訓后的《教師口語課》老師兼任，因為口語課教師已經(jīng)有了很好的語言功底，再經(jīng)過嚴格的歌唱語言發(fā)聲訓練，在氣息和共鳴腔的運用上進一步提高，一定會是非常優(yōu)秀的教師。第二種辦法，也可由每年聲樂專業(yè)普通話達標的高年級優(yōu)秀學生兼任，這樣既給學生提供實際鍛煉的機會又解決了師資不足的問題。對于已經(jīng)走上教學崗位的在職教師，則可采取每年寒暑假函授培訓的機會進行專題講座，或組織集體培訓等措施。總之，盡全力使我們每一名教師都能認識到和了解到用嗓是講究科學的，嗓音職業(yè)病是可以預防和防止發(fā)生的。在教學設備上無須添置特殊的儀器設備，完全可以利用現(xiàn)有的語音教學設備即可。

2．教材

《教師口語課》教材中也提到了氣息與共鳴腔的運用等，但強調(diào)得不深、不夠，只是在教材中提到了氣息和共鳴的作用，但強調(diào)的側(cè)重點主要還是在語音和吐字的發(fā)音準確上，而忽略了氣息與共鳴在發(fā)音吐字中的重要性。其實，氣息不僅是發(fā)聲吐字的動力，同時也在表情達意、誘發(fā)人的情感、使表達的內(nèi)容更加鮮活等方面起著非常重要作用的外部表現(xiàn)手段。再加上共鳴腔的作用，不僅發(fā)音吐字具有通透力，起著美化音色、擴大音量的功效，同時對糾正發(fā)音錯誤也起到功不可沒的作用。這點需要在教材中和教師教學中加以重視。這兩方面的問題應在教材編寫和教師培訓中給以足夠的認識和提高。

四、 開設歌唱語言技術(shù)訓練課的操作與具體構(gòu)想

1．單獨開課 單獨開課當然是最好最有效的方法，但成本很高，也不現(xiàn)實，同時也有與《教師口語課》重復雷同的弊病，因此，與《教師口語課》結(jié)合是最好的做法。

篇7

在高等數(shù)學教學中浸潤數(shù)學文化與開展案例教學基礎上，把數(shù)學文化有效地浸潤到案例教學中，通過工程實踐等案例來培養(yǎng)學生的實際應用能力，提升學生的數(shù)學素質(zhì)和文化素質(zhì)。增加數(shù)學科普內(nèi)容，提高學生學習興趣。優(yōu)秀的數(shù)學科普知識可以陶冶學生的情操、開闊學生的視野、培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣。通過挖掘數(shù)學理論的實際應用案例背景，讓學生體會數(shù)學的價值，活躍課堂氣氛、提高學生學習興趣。滲透進文化的案例教學，更好地促進學生接受案例所承載的實際應用信息，達到培養(yǎng)學生實際應用能力的目的，進一步達到培養(yǎng)人才的目的。

二、高等數(shù)學的案例教學中浸潤數(shù)學文化的方法與措施

筆者從以下幾個方面來闡述在高等數(shù)學案例教學中如何加強數(shù)學文化的浸潤教學。

1.高等數(shù)學教學中浸潤數(shù)學文化的研究。從高等數(shù)學的課堂教學內(nèi)容中挖掘隱含的數(shù)學文化內(nèi)涵。教師必須深入研究教學內(nèi)容，挖掘出其中蘊含的數(shù)學方法、數(shù)學思想、數(shù)學精神和數(shù)學品質(zhì)，并采取靈活多樣的課堂教學形式，才能夠吸引學生深入到教學情境，從而領(lǐng)悟數(shù)學文化，潛移默化地將數(shù)學精髓變成自身素質(zhì)的一部分。

2.高等數(shù)學案例教學的研究。建立典型的案例庫，包括機械類、電氣工程類、通信類、經(jīng)濟類、生產(chǎn)生活類等。在進行案例教學前，要選擇合適的教學內(nèi)容，并且選擇適當?shù)慕虒W案例。例如，導數(shù)的應用、定積分的概念、重積分的應用等，積極引導學生參與到課堂的案例教學中。

3.高等數(shù)學課程文化浸潤下的案例教學的研究。通過工程實踐等案例來培養(yǎng)學生的實際應用能力，提升學生的數(shù)學素質(zhì)和文化素質(zhì)。增加數(shù)學科普內(nèi)容，提高學生學習興趣。理論教學中穿插來源于社會中的實際問題，從思考該問題如何解決，解決問題應該用到哪些數(shù)學知識，到如何利用數(shù)學知識解決實際問題，一環(huán)扣一環(huán)，達到培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，來體現(xiàn)數(shù)學文化。例如，講解微分方程時，可以引入著名的人口模型、變化率及相對變化率。滲透進文化的案例教學，通過文化的滲透可以更好地促進學生接受案例所承載的實際應用信息，達到培養(yǎng)學生實際應用能力的目的，進一步達到培養(yǎng)人才的目的。

篇8

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）35-0087-02

《高等數(shù)學》是理工科專業(yè)的一門理論性較強的自然科學基礎課程，是后繼很多基礎課程和專業(yè)課程必不可少的基礎知識。通過學習高等數(shù)學的基本概念、基本原理，可以使學生在數(shù)理基礎方面具有一定的理論水平，進而提高學生的基礎應用能力。高等數(shù)學涵蓋的內(nèi)容十分豐富，包括函數(shù)與極限、一元函數(shù)、多元函數(shù)和復變函數(shù)的微積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、級數(shù)、常微分方程等，這些內(nèi)容在一些應用科學問題中有非常廣泛的應用。然而，很多學生感覺高等數(shù)學的學習十分枯燥、乏味，無法提起學習興趣。因此，能夠在講解高等數(shù)學時結(jié)合應用科學問題，會提高學生的學習興趣，進而鞏固其對于高等數(shù)學的掌握。職是之故，將培養(yǎng)數(shù)學思維方法與解決實際問題的能力相結(jié)合是當前高等數(shù)學教學需要關(guān)注的問題。我們在物理電子類課程的教學中對于高等數(shù)學課程和實際問題之間的促進作用有著一定的體會，如果學生高等數(shù)學學習得比較好，學習一些內(nèi)容如魚得水，這體現(xiàn)了高等數(shù)學對于解決實際應用問題的促進作用；在學習物理電子類課程中，有些同學反映對于以前學習得高等數(shù)學知識有了更深的理解和體會，甚至之前幾乎完全不懂的數(shù)學概念現(xiàn)在懂了，這體現(xiàn)了實際應用問題的講解對于高等數(shù)學學習的促進作用。下面就幾個具體的例子來闡述如何在高等數(shù)學的教學中結(jié)合實際問題。

一、單擺問題

在高中物理里，學生們就已經(jīng)學習過了單擺問題。然而，由于高等數(shù)學知識的缺乏，學生們只能死記硬背單擺的周期公式，即T=2π（L/g）1/2，其中L是單擺的擺長，g是重力加速度。這十分不利于學生對于單擺問題和簡諧運動的深刻理解。因此，在高等數(shù)學講到常微分方程時，甚至在講到微分時，就可以把單擺問題作為微積分的實際應用講解給學生。可以參考如下講法，即先根據(jù)牛頓第二定律將質(zhì)點的運動方程列出，通過小角近似得到一個二次微分方程。這時，既可以利用常規(guī)的常微分方程解法來解這個方程，也可以利用觀察法得到該方程的解是余弦函數(shù)，從而得到單擺的周期。通過單擺問題的求解，既令學生對于高等數(shù)學中的微積分和解常微分方程的知識得到了鞏固，又令學生對于高中物理里的單擺問題加深了理解。

二、流體中運動物體的速度問題[1]

流體的范圍很廣，包括空氣、水等氣態(tài)或者液態(tài)的物質(zhì)。可以這么說，現(xiàn)實生活中的物體運動絕大多數(shù)都是在流體中進行的。因此，流體中運動物體的速度問題是十分具有實際背景和應用價值的。在這類問題中，流體阻力的影響分析是關(guān)鍵。根據(jù)實驗和理論分析，我們知道流體阻力Fd=1/2CdAρv2，其中Cd是曳引系數(shù)，A是有效截面積，ρ是流體密度，v是物體相對于流體的運動速度。物體在流體中下落，受到重力和流體阻力，所以總受力為F=mg-1/2CdAρv2。物體所受力平衡時的速度定義為終極速度，因此可以解得終極速度為vT=（2mg/CdAρ）1/2。利用上面這個表達式，我們可以把運動方程寫成dv/dt=g（1-v2/vT2），進一步改寫為（dv/dz）（dz/dt）=g（1-v2/vT2），又因為dz/dt=v，所以有dv2/（1-v2/vT2）=2gdz，取初始條件z=0，v=0，兩邊積分得v2=vT2[1-exp（-z/zc）]，其中zc=m/CdAρ。這個解說明流體中運動物體的速度永遠達不到終極速度，但是隨著運動的進行，會以指數(shù)方式趨近于終極速度。該問題的解決依賴于學生對于微分定義的理解和靈活運用以及如果通過積分來求解微分方程的能力，對于學生微積分的學有裨益。

三、平面靜電場的復勢問題[2]

在工程技術(shù)中往往要解決很多平面矢量場的問題，例如平面靜電場等。由于是平面矢量問題，因此需要用兩個變量來描述該類問題，換句話說，需要用兩個函數(shù)來描述這個平面場的性質(zhì)。在場論中，通常用一對共軛調(diào)和函數(shù)來描寫。這說明描述平面矢量場的兩個函數(shù)構(gòu)成的復變函數(shù)是解析函數(shù)，于是人們利用解析函數(shù)的理論來統(tǒng)一研究平面場的性質(zhì)，這不僅使得問題的表達形式比較緊湊，而且常常會引出新的結(jié)果。而在平面靜電場問題中，電通和電勢均是調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程，因此由電通量作實部、電勢作虛部組成的函數(shù)是解析函數(shù)，可以描述平面靜電場的性質(zhì)。該解析函數(shù)通常稱為平面靜電場的復勢。通過分析不同解析函數(shù)所代表的平面靜電場，可以令學生對于復變函數(shù)中的模、輻角等的物理意義有比較深入的了解，同時對于解析函數(shù)的定義、解析函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)間的關(guān)系、柯西-黎曼定理以及拉普拉斯方程等內(nèi)容可以融會貫通。所以，在高等數(shù)學復變函數(shù)教學時能夠結(jié)合該問題加以分析討論，對于學生的復變函數(shù)內(nèi)容的掌握具有重要的意義。

四、放大電路的頻率響應問題

放大電路的頻率響應是模擬電子線路課程的重要內(nèi)容，也是一些電子器件研制時重要的理論依據(jù)，比如著名的相移反饋振蕩器就是利用了頻率響應。我們在模擬電子線路課程的教學中深深體會到，有些學生對于復變函數(shù)的學習不夠靈活和圓融，因此在講解放大電路的頻率響應時學生學得比較吃力。所以，如果高等數(shù)學在講解復變函數(shù)時，可以將放大電路里的高通電容電阻電路和低通電容電阻電路作為一個實際例子來講解的話，可以讓學生充分理解復變函數(shù)的意義，也會對復變函數(shù)的作用有一定的體會。在歷史上，相移反饋振蕩器就是利用電容電阻電路由斯坦福大學的兩位學生開發(fā)的，并用其制成了一批可變頻聲音發(fā)生器，賣給了沃爾特?迪斯尼公司，而相移反饋振蕩器的原理用簡單的復變函數(shù)和微積分的知識就可以讓學生明白。這會大大激發(fā)學生對于學習高等數(shù)學的興趣和動力。以上的4個問題是高等數(shù)學教學中關(guān)于微積分和復變函數(shù)部分與實際應用問題相結(jié)合的實例。縱觀高等數(shù)學的全部內(nèi)容，還有很多地方可以與實際應用問題相結(jié)合，比如級數(shù)展開對于量子力學中的微擾問題的應用、高斯定理對于電動力學中靜電場的散度方程的應用等等。因此，高等數(shù)學的教學需要教師有針對性地精心挑選和設計有助于學生理解和掌握高等數(shù)學內(nèi)容的各種有啟發(fā)作用的實際應用問題，這里就不一一贅述。

總之，我們淺談了高等數(shù)學教學與實際應用問題相結(jié)合的教學方法。有助于學生后續(xù)課程的學習。更重要的是，該教學方法能夠激發(fā)學生學習的興趣和主動性，提高了課堂教學效率，乃至于促進了學生們對于科學知識的向往和尊敬。需要注意的是，在教學過程中，教師應該注意掌握課堂內(nèi)容的主次，在時間上對于基礎理論和實際問題的講解做合理的分配。我們相信隨著高等數(shù)學等基礎科學課程教學的進步，我國的高等教育會在21世紀有長足的發(fā)展。

參考文獻：

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[中圖分類號] O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）16-0082-03

一、高等數(shù)學教學中引入數(shù)值計算的必要

本人作為一名多年從事高等數(shù)學教學的教師，結(jié)合多年的專科教學實踐，以及對我院第一次招收的本科學生的知識結(jié)構(gòu)情況的掌握，感到這些學生中的大部分數(shù)學基礎知識和運算技巧都有欠缺，要想掌握嚴密的高等數(shù)學理論體系難度較大。另一方面，從應用型本科人才培養(yǎng)目標出發(fā)，我們也應當著重培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力，尤其是理工科學生，在今后的工作實踐中，隨時都可能遇到數(shù)值計算和數(shù)據(jù)處理問題需要解決。因此，教師在高等數(shù)學的教學中，應注意適時地引入數(shù)值計算和加強數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)，以便學生畢業(yè)后能盡快適應工作崗位的要求。

隨著計算機的日益普及和數(shù)學軟件的不斷更新，有關(guān)數(shù)值計算、數(shù)據(jù)處理軟件的日益成熟，教會學生掌握數(shù)值計算的技能已經(jīng)變得相當容易。作為一名高等數(shù)學教師，教學中應該有意識地引入MATLAB輔助教學，加強學生運用計算機解決數(shù)學問題的訓練，培養(yǎng)學生的實踐能力。MATLAB作為一款成熟的數(shù)學軟件，具有優(yōu)秀的數(shù)值計算和數(shù)據(jù)處理能力以及強大的繪圖功能。它無需專門訓練，編程簡單，編程有時就像做數(shù)學題一樣。將MATLAB語言引入高等數(shù)學教學中，無疑是培養(yǎng)學生數(shù)值計算和數(shù)據(jù)處理能力的一條快速有效的途徑。

二、高等數(shù)學教學引入數(shù)值計算的具體做法

對于應用型工科專業(yè)的學生來說，鑒于教學計劃和學時的限制，不可能作為一門課程專門講解數(shù)值計算方面的內(nèi)容。MATLAB的數(shù)學函數(shù)庫包含了大量的計算算法，包括基本函數(shù)、矩陣運算和復雜算法等。我們的做法是：不增加課時，精講高等數(shù)學內(nèi)容，在高等數(shù)學教學的同時，通過介紹MATLAB軟件的基本應用，結(jié)合具體教學內(nèi)容適時地引入MATLAB數(shù)值計算，并安排一定時間的上機實驗，既提高了學生學習高等數(shù)學的興趣，又讓學生在掌握高等數(shù)學知識的同時，培養(yǎng)了利用計算機處理實際問題的能力，可謂一舉兩得。下面介紹MATLAB在幾方面的應用。

（一）極限運算

在介紹兩個重要極限時，對于第二個重要極限，以前總是從數(shù)列極限■（1+■）n開始，通過列表觀察數(shù)列取值的變化規(guī)律。現(xiàn)在借助MATLAB語言，讓學生自己在計算機上觀察，效果更好。程序如下：

x=1：1000；

y=（1+1./x）.^x；

plot（x，y）

（二）定積分運算

（1） 對于定積分運算，由于學生不定積分運算技巧的欠缺，掌握起來感到較難，我們的處理方法是，除了教給學生定積分的基本知識外，把定積分的計算交給計算機來完成。

有理函數(shù)的定積分計算起來較麻煩，利用MATLAB的符號運算，只要兩條很簡單的命令即可解決。如計算定積分■■.命令結(jié)果如下：

syms x

int（x/（x^2-2*x+2）^2，0，2）

運算結(jié)果

ans =

1/4*pi+1/2

我們知道，有些函數(shù)的定積分是沒法應用牛頓―萊布尼茲公式計算的，這時就要用到定積分的近似計算。MATLAB的數(shù)值計算能力在這方面就更加有優(yōu)勢了。如計算定積分■ex2dx.

梯形法計算，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：1；

y=exp（x.*x）；

s1=trapz（x，y）

運算結(jié)果：

s1 =

1.4627

辛普生法計算，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：1；

s2=quad（′exp（x.^2）′，0，1）

s2 =

1.4627

（2） 定積分數(shù)值計算的應用

汽車里程表原理。汽車的速度表用來計算汽車輪子轉(zhuǎn)動的快慢，并把它轉(zhuǎn)化為汽車前進的速度。那么里程表又是怎么計算行駛里程的呢？這就用到了定積分的實際意義，即通過計算速度曲線從初始時刻到當前時刻之間的曲邊梯形面積而得到行駛的里程。通過該例，既加強了學生對定積分實際意義的理解，也鍛煉了學生運用高等數(shù)學知識解釋工程應用的能力。

假設某輛汽車在3小時內(nèi)行駛的速度函數(shù)為：

v（x）=25（2sin2（2x）+■xcos2（■）），x∈[0，3]

求該時間段內(nèi)汽車行駛的路程。

先畫出速度曲線，命令如下：

x=0：0.01：3；

y=25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*（cos（x/2））.^2）；

plot（x，y）

用數(shù)值積分計算汽車行駛路程，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：3；

y=25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*（cos（x/2））.^2）；

s1=sum（y（1：300））*0.01

s2=sum（y（2：301））*0.01

s3=trapz（x，y）

f=inline（′25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*

（cos（x/2））.^2）′，x）；

[I，n]=quad（f，0，3）

運行結(jié)果為：

s1 = 169.9960 s2 = 170.0444 s3 = 170.0202 I = 170.0213 n = 165

（三）微分方程數(shù)值解

雖然我們在教學中教會了學生解幾種典型的微分方程，但生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程大多很復雜而且得不出一般解，實際問題的處理中更多的要求數(shù)值解。對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解是十分必要的。MATLAB有相應的求解函數(shù)解決這類問題，而且相當簡單。

如求解初值問題：

■

按照學過的微分方程類型是無法求解的，只能求其數(shù)值解。

解： 令 y1=x，y2=y1′

則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：

■

程序如下：

先建立函數(shù)文件

function dy=shuzhijie （t，y）

dy=zeros（2，1）；

dy（1）=y（2）；dy（2）=1000*（1-y（1）^2）*y（2）-y（1）；

取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T，Y]=ode15s（′vdp1000′，[0 3000]，[2 0]）；

plot（T，Y（：，1），′-′）

三、應注意的問題

（一）利用 MATLAB語言處理高等數(shù)學問題只能輔助教學，應避免學生過于依賴計算機解題

誠然，利用數(shù)學軟件解題速度快、準確。但要知道，如果不明白數(shù)學原理，再好的軟件也起不了作用。高等數(shù)學的教學目的始終是培養(yǎng)數(shù)學思維和數(shù)學方法的訓練，教學中第一位的還是要讓學生理解基本概念、掌握基本運算能力、加強實際應用的訓練。只有這樣才談得上運用數(shù)學知識解決實際問題，運用數(shù)學軟件處理工程實際中遇到的問題。一個實際問題建立不了數(shù)學模型怎么能用數(shù)學方法求解呢？利用 MATLAB語言解數(shù)學題只能起驗證作用，不鼓勵學生動輒就用計算機解題。要讓學生明白再好的軟件也是以準確掌握應用原理為前提的，不然，談不上應用更談不上編程。

（二）教學中注意引入 MATLAB語言的時機

由于利用 MATLAB語言處理高等數(shù)學問題只是為了提高學生學習高等數(shù)學的興趣，加強數(shù)學應用能力的培養(yǎng)，這就決定了教學中不可能占用過多的學時去介紹這方面的知識。教學實踐中我們的做法是結(jié)合每章的習題課進行，尤其是結(jié)合實際應用類型的習題的求解。先有數(shù)學基礎再介紹必要的MATLAB語言知識，然后讓學生建立數(shù)學模型，最后運用數(shù)學軟件求解。這既加強了章節(jié)知識的理解也同時訓練了數(shù)學知識的應用和計算應用能力。

（三）注重提高學生解決問題的實踐能力的培養(yǎng)

在引入MATLAB輔助高等數(shù)學教學時，教師不能僅限于學生會用計算機解數(shù)學題，而應注重數(shù)學知識的實際應用能力的培養(yǎng)，尤其對工科專業(yè)的學生來說，加強運用數(shù)學知識解決工程實際問題更為重要。比如在進行函數(shù)與極限教學時，特別要注意零點定理與介值定理結(jié)合導數(shù)應用中方程近似解的介紹，因為實際應用中的代數(shù)方程只能求其近似解。導數(shù)應用中，加強微分在近似計算中的應用的訓練。定積分概念的教學中，除了讓學生充分理解定積分的實際意義外，還要真正掌握定積分的元素法，會處理變力沿直線所做的功、水壓力、引力等實際應用問題。在微分方程一章的教學中，更要注意與實際應用問題的結(jié)合，因為這一數(shù)學分支在數(shù)學的應用中尤其活躍。總之，學生學習高等數(shù)學的目的，還是為了應用數(shù)學知識解決實際問題，這也是應用型本科人才的培養(yǎng)目標所要求的。

[ 參 考 文 獻 ]

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《高等數(shù)學》是各大院校非數(shù)學專業(yè)學生的數(shù)學類主干課程。一直以來，在高等數(shù)學的教與學中，存在若干誤區(qū)。一方面，教師在講臺上不遺余力，全身心地投入。另一方面，眾多學生拋出了數(shù)學無用論的語調(diào)，認為學習數(shù)學根本就沒有什么用途與前途，對日后的工作、就業(yè)、生活無太多的幫助與作用，認為大學數(shù)學、高等數(shù)學不需要花太多心思與精力去學習，因為其離自己很遠，更有學生形成了學習高等數(shù)學無用論的錯誤觀念。

數(shù)學建模在近幾十年的應用越來越廣泛，是數(shù)學知識在各個領(lǐng)域運用的最典型的體現(xiàn)。在抽象、嚴密的數(shù)學理論知識與實際應用的一些問題之間架起了橋梁，起到了紐帶的作用。數(shù)學建模的運用反映了數(shù)學的各科知識，又解決了實際問題。越來越多的教師在各個基礎學科的教學中開始滲透與運用建模的思想和方法。著名的院士李大潛說過，要將數(shù)學建模、數(shù)學模型的一些理論、方法、觀念、思維和大學數(shù)學的一些課程相結(jié)合，相融合、相滲透。安排具體的實踐課程，構(gòu)建具體的實踐案例應用于實際教學過程。這對于學生提高課堂的參與性、互動性、主動性，對于學生在快樂、愉悅、實際的環(huán)境中體會數(shù)學的美、數(shù)學的樂趣、數(shù)學的應用價值，對于學生通過數(shù)學與生活的實際結(jié)合領(lǐng)會數(shù)學知識、學習高等數(shù)學相關(guān)內(nèi)容，由此培養(yǎng)學生解決實際應用問題的能力有非常大的促進與推動作用。下面將分類別從幾個方面說明數(shù)學建模思想在高等數(shù)學各個知識點領(lǐng)域的滲透與運用。

1.在高等數(shù)學的概念教學中滲透數(shù)學建模思想

高等數(shù)學的概念教學是大學數(shù)學教學中的難點與重點，大學數(shù)學學習不同于中學階段的數(shù)學學習，中學數(shù)學教學側(cè)重于理解，需要大量的練習輔助。而大學數(shù)學教學很多知識點的學習，更側(cè)重的是對于概念的理解與運用，掌握與延伸。譬如，高等數(shù)學中的一個模塊線性代數(shù)的學習，線性代數(shù)的線性相關(guān)性、線性無關(guān)等概念，更側(cè)重的是定義的掌握與性質(zhì)的理解。而這些，在傳統(tǒng)的教學課堂上，學生是不太容易理解和掌握的，甚至學生有的時候不知道你在說什么，講什么，為什么。因此，具有實際背景的實踐與實際應用實例會讓學生更有興趣，對于所學的知識有求知欲，特別是如果能在學習環(huán)節(jié)穿插或引用這些模型的思想，那就更是恰到好處，事半功倍。

舉個實例：在學習介值性定理的時候，對于連續(xù)函數(shù)，如果在一個連續(xù)的區(qū)間端點處的函數(shù)值異號，則在其區(qū)間內(nèi)部一定存在一個點，這個點的函數(shù)值等于零。數(shù)學分析或者高等數(shù)學以至考研入學試題中經(jīng)常會出現(xiàn)運用介值定理（或稱根的存在性定理）命題。可是很多同學在學習的時候會問：介值性定理到底有什么用，除了能用來解題外，在實際生活中有應用嗎？在經(jīng)典的數(shù)學建模教學中，有一個模型：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？這個模型運用的是基本的函數(shù)思想，將椅子能在不平的地面上放穩(wěn)的問題轉(zhuǎn)化為一個與實際應用密切相關(guān)的數(shù)學問題，最后運用函數(shù)的介值性定理解決問題。這就是一個非常好的在日常的概念與知識體系教學中融入數(shù)學建模思想的例子。當然，并不是所有的概念都一定要附和一個相關(guān)聯(lián)的數(shù)學模型，這不是我們的目的與教學的正確方法，應該有選擇性地穿插、引用經(jīng)典的，或者在授課過程中，根據(jù)課堂的氣氛、學生反映、學生對知識掌握的程度適當、適時、適度地滲透數(shù)學模型的教學，達到有機、合理、互進式的整合。

2.在應用型知識與問題教學中滲透數(shù)學建模思想

在高等數(shù)學學習中，很多科目的學習本身就與實踐有著緊密聯(lián)系，譬如常微分方程、概率等的學習，我們在學習過程中本身就會接觸很多實際問題。只不過這些問題或作業(yè)或練習的目的是為了教材上知識點的邏輯推理與運用的掌握。在相關(guān)教學環(huán)節(jié)，教師應該全面而充分地了解與把握教材中相關(guān)問題的應用背景，讓學生了解并知曉這些問題的實用價值。對于一些本身就涉及與關(guān)聯(lián)實際生活或相關(guān)應用領(lǐng)域的例題和習題，通過引導、通過對這些問題的實際探討，使學生深刻體會到這其中所用的數(shù)學知識、方法和思想，同時結(jié)合各學科學生所學專業(yè)的實際問題，如物理、化學、生物、經(jīng)濟等學科的實際背景，滲透數(shù)學建模思想。例如在講解高等數(shù)學的變化率的時候，可以結(jié)合實際生活中的經(jīng)濟現(xiàn)象，在經(jīng)濟管理專業(yè)的課程中，引入蛛網(wǎng)模型及相應的敏感度分析，讓學生與自己的學科相聯(lián)系，加深對問題的理解，進一步拓寬知識面。又如，對工科學生講變力做功時，就要用到定積分知識的數(shù)學建模，對于管理專業(yè)的學生，在安排生產(chǎn)、車輛調(diào)度時要應用到線性規(guī)劃模型。這樣結(jié)合學生所學專業(yè)的實際問題滲透數(shù)學建模思想，使數(shù)學知識直接應用于學生今后的專業(yè)學習中，有效地調(diào)動學生學習的積極性，極大地提高學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

3.在教學與課后作業(yè)環(huán)節(jié)適度運用數(shù)學軟件

多媒體的教學手段在現(xiàn)代教學中起到了不可或缺的推動作用。課堂上的多媒體教學對教師的教與學生的學起到明顯的促進與提升作用。學生學習環(huán)境的改善與學習相關(guān)資源的豐富、教學的硬件的提高為我們在日常的課堂教學中或課堂之后的學生的個人學習生活中進行數(shù)學建模思想的滲透與潛移默化的應用提供了現(xiàn)實的可能。在國外，很多學生并不會算復雜無比的算式，但他們會嫻熟地運用電腦軟件輔助課后學習，在學習與軟件使用的過程中發(fā)現(xiàn)相關(guān)的規(guī)律并更好、更深刻地理解了所學知識。如，在講解一些導數(shù)、方程、函數(shù)、我們可以借助軟件描繪相關(guān)的圖形、動態(tài)演示相關(guān)的變化過程，通過這樣一些建模與模型的主動滲透的意識主動性地借助于便捷、形象、生動的客觀軟件載體深化學習，更好地提高對實際問題的轉(zhuǎn)化與解決能力。

綜上，高等數(shù)學教學是大學學習數(shù)學教學中的最基礎最重要的一環(huán)，學好這門基礎課程對于掌握相關(guān)數(shù)學基礎知識及后續(xù)課程的學習有著非常重要的作用。教學的一個重要任務是培養(yǎng)學生運用數(shù)學解決實際問題的能力。數(shù)學建模在建立和處理相關(guān)數(shù)學問題的過程，實際上就是將相關(guān)的數(shù)學理論知識應用于實踐解題過程。任課老師應該在平時的日常教學組織管理中有意識地體現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學模型、數(shù)學建模的思想，在教學過程中著力培養(yǎng)學生相關(guān)的數(shù)學模型意識，提高學生的興趣，強化求知意識，潛移默化地培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識的能力、實踐及創(chuàng)造的能力。這對于培養(yǎng)新一代應用型大學生有很重大的現(xiàn)實意義。

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