導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇函數最值的應用，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類號:F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914（2011）12-082-02

在工農業生產、科學技術研究、經營管理中，經常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數學上有時可歸結為求某一函數的最大值或最小值的問題。隨著市場經濟的不斷發展，利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，運用微分中的最值可以對經濟活動中的實際問題進行最優化分析，從而為企業經營者的科學決策提供依據。

一、最值的概念

1.最大值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最大值點。

2.最小值。設函數f（x）在區間[a,b]上連續，x0為區間[a,b]上某一點。當對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最小值點。

最大值和最小值統稱為最值。

二、最值在經濟中的應用

最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個月生產某產品Q件時, 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產多少產品時, 所獲利潤最大?

解：由題設，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。

從而一個月生產250件產品時，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價格p的函數Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當價格為5時，有最大收益250。

3．經濟批量問題。

例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進貨，已知每批采購費用為b元，而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設銷售商品是均勻的，問分多少批進貨時，才能使以上兩種費用的總和為最省？(a,b,c為常數，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進貨的費用W1（x）bx，

兩次求導：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當Q=3時，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數C'（Q）=15-12Q+3Q2

當Q=3時，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當產量在Q的基礎上再增加一個單位時，成本C（Q）的增量。

三、總結

綜上所述，對經營者來說，導數在經濟學中的應用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為的經營決策提供可靠依據。

參考文獻：

1.陸慶平.以企業價值最大化為導向的企業績效評價體系――基于利益相關者理論[J].會計研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經濟中的應用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導數與積分在經濟分析中的應用[J].商業視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經濟分析活動中的應用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數學在經濟分析中的運用[J].棗莊學院學報，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經濟分析中的應用淺析[J].商場現代化,2008（4）

篇2

均值不等式是高中數學不等式中的重要內容，均值不等式在求函數最值、解決一些取值范圍問題時運用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識點之一。在實際應用時，我們應因題而宜地進行變換，并注意等號成立的條件，達到解題的目的，變換題目所給函數的形式，利用熟悉知識求解是常用的解題技巧，熟練運用該技巧，對于提高思維的靈活性和嚴密性大有益處。

一、運用均值不等式時應注意事項

在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件，特別是遇到一些函數本身就有取值限制范圍時，需要根據函數合理存在的限制取值范圍再求函數的最值。

二、把所給函數巧妙轉化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運用此法需要具有扎實的基礎知識，敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。

欲靈活應用此法，需要多練習，并在解題的過程中體會總結規律，達到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應的形式。

三、結語

以上通過幾個實例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項，但對于具體題目，有時可能有多種解題方法，究竟如何求出函數合理的最值，還需要我們在教和學的實踐中不斷探索和總結。

參考文獻：

[1]王影.求函數值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數的最值.高中數學教與學，2010，（4）.

[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點.中學生數學，2003，（1）.

[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實篇――學習方法總結，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

篇3

例1 （2012年江蘇揚州）如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是 .

圖1

解析：設AC=x，則BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

當x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.

（1）連接AE，當APE與ADE全等時，求BP的長；

（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式.當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長.

圖2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，運用勾股定理即可求得BP的長.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根據相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數關系式，然后化為頂點式即可求得當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根據相似三角形的對應邊成比例可列式求得BP的長.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）設BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

將上式化簡，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

當PE∥BD時， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2

（1）當x=■時，求弦PA、PB的長度；

（2）當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據切線的性質得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據兩直線平行內錯角相等得到一對內錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩個三角形相似可得出PCA與APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長代入比例式求出PA的長.在RtAPB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長.

（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點.再由有三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長表示出PE，根據PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數，根據自變量x的范圍，利用二次函數的性質即可求出所求式子的最大值及此時x的取值.

解：（1）O與直線l相切于點A，AB為O的直徑，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB為O的直徑，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC?AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過O作OEPD，垂足為E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

當x=3時，PD?CD有最大值，最大值是2.

三、求周長的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點.把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周長存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

設OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

當x=2時，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

AOB的周長存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AMMN，當BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

當x=■cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.

（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據AM=AN，得到關于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，證明ANH∽ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算AMN的面積得到有關t的二次函數，最后求出最值即可.

解：（1）M點從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

當t為4秒時，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇4

總之，只有學生在學習過程中，對其原理認真領會、強化通性通法，引導學生對數學問題從多層面，多角度進行延伸探究，有意識的引導學生從“變”的現象中分析“不變”的本質發現規律。所以變式教學要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓練學生的計算能力，還是深化學生思維；是進一步鞏固基礎，還是提高學生能力；是提醒學生哪些地方易錯，還是磨練學生解題意志。有效地拓展更好的服務于講，深化了練，提升了課堂的質量。高三教學發揮變式功能，更是一種有效地引導學生學會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式，有利于培養學生靈活多變的創新思維，完善學生的認知結構，提高學生分析問題、解決問題和探索創新能力。

篇5

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。三角函數是函數的一種重要的函數，三角函數的最值問題包括了對三角函數的概念、圖像、性質及誘導公式、同角三角函數間基本關系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數思想的具體體現，有廣泛的實際應用，一直是高考命題的熱點。我們從以下六個方面舉例介紹求三角函數的最值。

1 將已知函數轉化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數的最值

求三角函數的最值問題的主要依據就是正弦、余弦函數的值域。求三角函數的最值時，常常通過恒等變換，使它轉化為反含同名函數的各項。而恒等變換，一般要綜合運用同角三角函數間的關系、和角、半角、半角的三角函數及和差化積、積化和差公式等轉化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉化，問題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當 = （）時 = 1，當 = + （）時 = 。

2 應用平均值定理求最值

求函數 = （為銳角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

當 = ，即 = 時， = 。

應用平均值定理求函數最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過分析將 （）放大或縮小成一個常數，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應用二次函數判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內角）的最大值。

解：原函數化為 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

當 = 時， = = ，

所以當 = = 時， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時，等號必須成立。

4 應用函數的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域為（，- ]∪[1，）。

5 應用函數的單調性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。 = + 。

6 利用數形結合

求函數 = 的最值。

圖1

解：原函數變形為 = 這可看作點（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動點，由圖1可知，過（-2，0）作圓的切線時，斜率有最值，由幾何性質得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見的求三角函數最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時， = 8。

篇6

利用三角函數的有界性求三角函數的最值，關鍵在于應用三角函數的公式、性質將三角函數式化為復角的單名函數式或某些已知其最值的三角函數，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=決定。

又因為 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數的最值時，有時選取適當的變量代替式中的三角函數式，能使問題迎刃而解。但作變量代換時要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數變形得y=sin2x-4sinx+5。

設sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，當t=1時，ymin=2。

當t=-1時，ymax=10。

三、應用平均值不等式求最值

應用平均值不等式來求三角函數的最值，關鍵在于恒等變形，把三角函數式變為能應用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質求最值

利用幾何圖形性質求最值的特點是直觀、簡潔，將最值問題轉化為求直線的斜率問題，求形如y=的最值關鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動點A（f（θ），g（θ））與定點B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點，使KAB最大或最小。

例6 求函數y=的最值。

篇7

某些函數的結構并不復雜，可以通過適當變形，由初等函數的最值及不等式的性質直接觀察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當x=0，時，yma

二、反函數法

由原函數反解出x=￡(y)，根據x的范圍求出y的范圍，進而得到y的最值的方法稱為反函數法，此方法適用于能順利求得反函數的函數，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數， 類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數形式”這一類函數的最值問題的基本方法，有著廣泛的應用，

四、換元法

引入新變量對原函數式中的代數式或三角函數進行代換，將所給函數轉化成容易求最值的簡單函數，進而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。 　 　五、不等式法

通過對原函數式進行變形，利用等基本不等式求函數的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，

點評：利用不等式法求最值時，要注意函數取到最值時，相應的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調性法

如果能確定函數在某個區間上的單調性，就可以求出該函數的最值，求解函數在給定區間上的最值問題常可試用這種方法，函數的單調性可以直接用單調性的定義來判別，也可結合函數的圖像來研究，或者用導數法來判定。

篇8

最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數學各個分支，要學好各個數學分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數學技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

（1）代數法。代數法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數最值問題）配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯系的重要橋梁，若能在解多元函數最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在于能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。若函數可化成一個系數含有y的關于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數最值。

②配方法：配方法多使用于二次函數中，通過變量代換，能變為關于t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據二次函數的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在于用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恒等變形，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數常用關系式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。

（2）數形結合法。數形結合法是數學中的一種重要的思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數最值也借助數形結合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數的解析式，結合函數相關的性質，求解函數最值的方法。

②函數性質法：函數性質法主要是討論利用已學函數的性質，如函數的單調性求函數最值等。

③構造復數法：構造復數法是在已經學習復數章節的基礎上，把所求結論與復數的相關知識聯系起來，充分利用復數的性質來進行求解。

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1、配湊法

例1．已知函數 ，求y的最小值

解：因為 ， ，所以 ，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時 。

變式1：函數 ，求y的最大值。

解：因為 ，所以 ，則 -4

，當且僅當 即 時，等號成立，故 -6。

變式2. 當 時，求 的最大值。

解：因為 ，所以 ，

，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時

評析：當題目中給定的函數形式往往比較簡單，但不符合直接使用基本不等式時，就需要對函數式用“拆、拼、湊，合”等方法，創造基本不等式的條件和形式，并且在運用基本不等式后有取等號的條件。以上三個例題的函數式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通過拆或拼來創造運用基本不等式的情境。如（1）中 與 的乘積不是定值，看似無法用基本不等式求解，若將 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 與 的和不是定值，若將 拆成 即可。

2、拆項法

例2 已知函數 ， 求y的最小值。

解：因為 ，所以

當且僅當 即 時，等號成立，故 。

評析：本題采用了拆項法將式子進行了變形，然后把分子分母同除以一個含自變量的式子，使分子變為常數，此時可對分母使用基本不等式。

3、換元法

例3 求函數 的最小值。

解：因為 :所以， ，則 ，所以，

，

當且僅當 ，函數的最小值是 。

評析：本題采用了換元法，將原式轉化為可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代換

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因為

,當且僅當 即 時，等號成立。

所以，當 時，有最小值是16.

變式訓練 已知正數 滿足 ，求 的最值。

解：將條件 等價轉化為 后，常值代換處理即可。

例5 設 ， 為正常數，則函數 的最小值是

解析： 本題考查 及“1”的代換等知識，可將原式寫成

當且僅當 ，即 時等號成立。

所以函數 的最小值是

評析：有些代數式含有兩個以上的變量，但這些變量又必須同時滿足某些條件，在運用基本不等式求其最值時，往往需要結合這些變量所滿足的條件和所求最值的代數式的特點進行分析，通過適當的變形來利用基本不等式求最值，這類問題也往往可以通過代換消元轉化為某個變量的函數形式來求最值。以上幾題均采用了常量1的整體代換，通過這種變形可以轉化表達形式，創造出可用基本不等式解答的條件。

5、重復使用基本不等式

例6 已知二次函數 （ ）的值域為 ，求 的最小值是

解：由題意知： 即 ,因為 ，

當且僅當 時等號成立，所以 的最小值是10.

評析：本題連續兩次使用基本不等式，等號成立的條件都是 ，原題的等號成立，所以3是最小值，因此，特別注意：在連續使用基本不等式時，等號成立的條件一定要一樣。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 為銳角，求函數 的最大值。

解：因為 為銳角，所以 為正數，所以

= 。所以 的最小值是 ，則

7、整體代換

例8 若正數 滿足 ，則 的取值范圍是

解：由已知 得 ，即

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1.利用二次函數求最值

利用二次函數求最值是一種應用甚廣的基本方法,其基本思路是將將問題轉化為某個變量的二次函數,通過配方,利用二次函數性質求出最值。

例1 設x1,x2是關于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個實數根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因為 =a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因為x1,x2是方程x2+ax+a=2的兩個實數根,

所以x1+x2=-a,x1?x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根據平方的非負性知:當a= 時,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值為- 。

2.利用換元求最值

一些函數,特別是在函數表達式中含有三角函數的情形,往往可利用三角函數的有關性質來求函數的最值,這就是三角換元求最值;其他的換元就是根據函數表達式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達到化繁為簡,從而使問題得解。

(1)三角換元

例2已知x,y均是正數,x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

則 所以x+y的最大值為√2,最小值為-√2。

(2)其他換元

例3 已知 的最大值。

解: 當且僅當x=y= 時取等號,所以 的最大值為2。

3.利用數形結合求最值

運用數形結合的思想,將函數的最值問題轉化成幾何圖形的性質問題,通過幾何的有關知識來解決。這種方法對于最值的解法顯得更直觀、易懂、簡潔,這對于開拓思路,提高和培養分析能力,解決問題的能力有裨益。

例 4 求函數y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因為 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作點P(x,x2)到點A(0,1)及點B(2,3)的距離之和。

已知點P(x,x2)在拋物線y=x2上,又由于y=x2與線段A,B有交點,故當A,P,B在同一直線上時,距離之和最小,最小值為線段AB的長,所以y的最小值為ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值與最小值是密切相關的。比如要證明某個參數P的最小a,可先證明P≥a,然后說明P可以取到a,這是利用不等式求最值的基本思路,更為一般的是利用均值不等式,積定求和最小值,和定求積最大值。