導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇三角函數變換規律，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函數的變換具有種類多而且方法靈活多變的特點，所以很難讓學生真正的掌握。但是三角變換中的基本規律和思想卻是不變的，我們可以把這些規律概括為公式間的聯系和運用這兩種。

一、三角函數變換中常見的幾種類型

1.“角”度的變換。在進行三角變換解題的過程中，三角函數中角度變換，主要體現在差角、和角、半角、倍角、余角、湊角、補角等之間相互的轉換，角度的變換起到了紐帶的作用。隨著三角函數角度的變換，函數的運算符號、名稱以及次數等都會有一些相應的變化。在對三角問題進行求解的過程當中，由于表達式時常會出現許多相異角，因此，我們就要根據三角角度間和、差、倍、半、補、余、湊等關系，用“已知角”來表示“未知角”，然后再進行相關的運算，使三角變換的問題可以順利的求解。

2.函數名稱的變換。在函數名稱變換中，最為常見的就是切割化弦，這時，我們一般都會從化函數或是化形式方面著手。在三角函數當中，正弦和余弦是六個三角函數中的基礎，它們的應用也是最為廣泛的，其次是正切。通常來講，在進行三角問題求解的過程當中，時常會出現一些不同的三角函數名稱，這時就需要我們把這些不同的三角函數名稱轉換成同名的三角函數，我們最常見的轉化方式就是“切割化弦”與“齊次弦代切”。

3.“形”變換。在我們對三角函數進行化簡、求值或是證明等運算的過程中，有時會根據相關的需要將一些常數如1，■，2+■等轉化成相關的三角函數，然后再利用相關的三角函數公式進行運算。在這些常數當中，利用常數1來進行三角函數變換運算最為普通和廣泛。在進行三角變換時，我們運算時一定要遵循由繁到簡、由簡而易的的規律，只有這樣我們才能在眾多的三角函數公式中找出相關的解題思路，才能明確解題的目標，從而順利的解題。

如：2009年遼寧高考文科試題中，已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知條件，我們很容易想到這道題需要進行“弦化切”，因此，我們利用已知整式中分母為1的條件，將“1”轉化為sin2α+cos2α，從而進行解答。

二、三角函數變換的幾種常用解題方法

1.“弦函數”與“切函數”間的相互轉換。“弦函數”與“切函數”之間互相的轉換是我們平常對三角函數問題進行解答時，常用的兩種函數轉化的基本手法。若是在三角函數式當中存在著正切函數，我們就能讓學生在解題的時候，利用三角函數之間最基本的關系或是讓“弦函數”轉化成為“切函數”等方式來進行對題目的求解或證明。

2.角的等量代換。在我們解決三角函數的問題過程中，要重點的注意已知角同所求角間的相互關系，適當的使用拆角和拼角的解題技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα

證明：因為β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和變用。我們在對三角函數的問題進行解題時，時常會遇到需要對三角公式進行變用或逆用的情況，尤其是公式的變用，常常會因學生的不夠熟練出現錯誤。因此我們要讓學生能夠熟練的運用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x這些三角函數的公式。

4.引入輔助角公式。輔助角公式的引入，是在三角函數變換過程中，兩角和同兩角差之間正弦或是余弦公式形式的變換，它是求三角函數的單調區間、周期等時最為重要的解題手段之一，就像我們將三角函數式asina+bcosα轉變為■sin（α+φ）的形式，在這個三角函數式里φ被稱為輔助角，而這個輔助角的大小則是由tanφ所決定的，它的象限就是由a、b兩個符號所確定的。

例如在2009年重慶高考文科卷2試題中，設函數f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期為■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的圖像往右平移了■個單位長度得到了函數y=g（x）的圖像，則求函數y=g（x）的單調增區間。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

則T=■=■，則解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的單調增區間就是[■kπ+■，■kπ+■]

綜上所述，無論對三角函數進行求值、化簡還是證明，其解題的過程都會是從已知向未知進行轉化的過程，所以，我們要從中找到它們之間的差異，才能順其自然的對三角函數進行轉變。

參考文獻：

[1]葛志峰.三角變換的類型與技巧[J].讀與寫（教育教學刊），2007，（5）.

篇2

三角函數的圖象是三角函數的概念和性質的直觀形象的反映，是研究三角函數的性質的基礎。而三角函數的圖象的特征和性質，又是通過函數的圖象變換反映出來的，因此掌握這一函數圖象的變換關系及靈活運用，是分析和解決與三角函數的圖象有關的問題的關鍵。同時，三角函數的圖象變換也是歷年高考中的?？純热?。

下面淺談三角函數的圖象變換。對于這一函數的圖象變換，課本上首先分別探索了、ω、A對圖象的影響，即得到下面三種基本變換：

1、相位變換：把的圖象上所有點向左（當>0時）或向右（當

2、周期變換：把的圖象上所有點的橫坐標縮短（當ω>1時）或伸長（當0

3、振幅變換：把的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0

然后在此基礎上，歸納總結出由正弦曲線得到函數的圖象的變換過程：

課本對于這一過程的歸納總結，雖然體現了由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想，說明了圖象的變換過程，但是學生在學習理解上卻存在一定的困難，有相當部分的學生全靠死記硬背，形成思維定勢。如果改變圖象的變換順序，即先進行周期變換，再進行相位變換，則容易產生錯誤。如對于的圖象變換，在由變換到后，有些學生錯誤地認為：只需再將其圖象向左或向右平移||個單位，而正確的圖象變換應該是向左或向右平移個單位，即函數變換為。相位φ變換實質上就是將函數的圖象向左或向右平移．當先作周期變換后作相位變換時，須提出系數ω，這是因為周期變化時改變了x的值，此時其初相位（非0初相）同時也改變相應得到改變，且改變的倍數相同．當先作相位變換后作周期變換，由于此時x的系數為1，系數提不提無影響，為了統一記憶我們也視為提出系數“1”．因而有“變φ要把系數提”之說。這樣就避免了容易發生的錯誤，有助于分析和解決問題。請看下面的例題。

例1、要得到的圖象，只需將函數的圖象( )個單位長度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因為，由圖象變換可知應將函數的圖象向右平行移動，移動單位為，即有，于是選（D）。

變式：要得到的圖象，只需將的圖象( )個單位長度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因為，即，所以選（C）。

評注：進行圖象變換時應切記無論是哪種變換都是對字母x而言的，注意到這一點就無須擔心到底是先作相位變換還是先作周期變換。

例2、已知函數 ( )的圖象如圖1所示，那么( )

（A） （B）

（C） （D）

分析：由圖象可知：又,

所以，于是選（C）。

評注：①此題牽涉到三角函數的性質、圖象及其變換，要解決它需要綜合應用這些知識；

②數形結合是數學中重要的思想方法，很多函數的性質都是通過觀察圖象而得到的。

例3、為了得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）

（A）向左平移 （B）向左平移 （C）向右平移 （D）向右平移

解： 因為，又題中變換與圖象變換相逆，因此方向應向右，平移單位為：，所以應選（D）。

變式：將的圖象沿x軸向右平移個單位長度，再保持圖象上每個點的縱坐標不變，而橫坐標伸長為原來的2倍，得到的曲線與相同，則是( )

（A） （B）

（C） （D）

解：將圖象上的每個點的縱坐標不變，而橫坐標伸長為原來的倍，得到的圖象，再將此圖象向左平移個單位得到

，即，選（C）。

評注：圖象變換的過程是可以互逆的。例題3及其變式的設計有助于培養學生的逆向思維能力，開闊學生的視野，做到舉一反三，加深對知識的理解。

總之，為了讓學生充分理解和完全掌握三角函數的圖象變換，我們在設計相關題組時，可以對自變量x進行變化，可以對函數的解析式進行變化，還可以對變換過程的順序進行變化。三角函數圖象的周期、振幅、相位等變換的問題是歷年高考中?？疾榈膬热荨Υ祟惷}的求解，無論三種變換怎樣擺設，先要弄清哪是原函數的圖象，哪是新函數的圖象，再根據三角函數的圖象變換規律，很快就可得到解決。

參考文獻：

篇3

三角學起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經》中也有關于我國最早的三角測量的記載.三角函數是三角學中非?；A的、非常重要的一部分.在高中數學中，對三角函數的學習主要是三角函數的圖像和性質.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將把這些三角函數中常見的錯誤歸類出來，加以詳細的探究，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規律而產生的錯誤.邏輯思維的規律，即邏輯規律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環論證和不等價變換這三種.

（一）循環論證

論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.

例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，a=3.

致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當a

（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現主觀臆斷

篇4

三角函數是考試的重點，也是我們得分的關鍵，由于已經是第二輪復習，學生對于公式，定理的掌握基本熟練，我給他們準備了導學案，要求課前完成。

題型一：三角函數的化簡求值問題

此題是三角函數公式，定理的考查，兩角和差的三角函數公式的內涵是“揭示同名不同角的三角函數的運算規律”，對公式要會“正用”“逆用”“變形用”，記憶公式要注意角、三角函數名稱排列以及連接符號“+”，“－”的變化特點。在使用三角恒等變換公式解決問題時，“變換”是其中的精髓，在“變換”中既有公式的各種形式的變換，也有角之間的變換，本題的易錯點是符號，角的關系，為了鞏固知識，安排了一個變式訓練1：

篇5

所謂等量替換，實際上就是用一種量或者其部分替換與之相等的另外一種量、或者一部分；等量替換是初中階段數學教學過程中的一種基本思想方法，同時也是代數思想教學和學習的基礎.從狹義層面來講，函數等量替換思想，即采用等式性質體現實際上是等式的傳遞性.比如，a=b、b=c，則可推導出a=c.在初中函數教學過程中，真正用到的等量替換為f（a=b∧f（a）f（b）），上述關系中的f代表的是廣義層面的等量替換.具體來講，即如果M是N的同義詞，而且N代表人，則M也是人.從實踐來看，該種數學思想方法不僅在初中階段的函數教學過程中應用比較廣泛，作為數學基礎和重要知識點，在高中、大學階段都會用到.在初中數學教學過程中，因三角函數變換種類非常的多，學習方法非常的靈活，所以學生感到非常的吃力或者困惑.然而，三角變換過程中基本規律、解題思路不變，因此實踐中可將這些基本規律概括成公式之間的聯系、運用，在此過程中三角函數的等量替換對學生們的數學思維能力培養，具有非常重要的作用.事實上，在我們的日常生活中存在著很多等量替換的實例，比如曹沖稱象的故事，便是一個非常經典的等量替換思想應用實例.在初中數學教學過程中，如果A=B，Q+A=W+B，則Q=W就是等量替換思想應用的結果.在初中數學函數中，如果兩個方程式相等，在其兩邊分別同時加上同一個整式，則二者依然相等，這便是最為典型的等量替換思想.

二、初中數學函數教學過程中的等量替換措施

在當前初中數學函數教學過程中，等量替換思想應用非常的廣泛，以三角函數為例，其變換常見的類型如下.

1.三角函數中的“角”替換策略

在初中三角變換解題實踐中，對三角函數中的相應角度進行替換，體現在和角、差角、半角、余角、倍角以及補角和湊角之間的相互替換，其中角度變換或者替換，起到了非常重要的連接作用.在三角函數角度替換過程中，函數運算過程中的名稱、符號以及次數等，也會隨之發生相應的變化.

比如，在ABC中，已知∠BAC=90°，M是線段AC的中點，且AGBM，垂足為G，BG=2GM.（1）證明BC=3AG；（2）設AB=6 ，則BM的長度為多少.

（2） 由（1）得當AB=6時，BM=BG+MG=3.

本例題中用到了等量替換思想.事實上在對初中三角函數問題求解過程中，因表達式中通常會有許多個相異的角，所以需根據實際情況，三角角度間和、差、倍、半以及補和余關系，將未知角用已知角來表示（替換），然后再進行具體運算，從而順利求解.

2.三角函數中的“形”替換策略

篇6

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數，運用函數思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角.

【變式訓練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°

考點二、三角函數的同角公式及誘導公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數值求角α的一般步驟是：①由三角函數值的符號確定角α所在的象限；②據角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.

【變式訓練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數的圖象和性質

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數的單調性是相對于某一區間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.

例3（1）求函數y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區間；

（3）求函數y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區間.（3）先將原函數式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數值域為[-23，23].

【歸納總結】 （1）求三角函數的定義域，既要注意一般函數定義域的規律，又要注意三角函數的特性，如題中出現tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數的定義域通常使用三角函數線、三角函數圖象和數軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數），其周期T=π1|ω|，單調區間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區間.（3）將原函數式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數式，切忌忽視函數的定義域.

【變式訓練3】

已知函數f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數f（x）單調遞增區間.

考點四、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數圖象變化的影響.能根據所給三角函數的圖象和性質確定其中的參數，并能由一個三角函數的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數的圖象.利用三角函數的解析式可研究三角函數的性質和圖象.會用三角函數解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x0的個數；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據題目給出的周期和對稱中心求得函數f（x）的解析式，利用函數圖象的平移和伸縮的變換規律逐步得到g（x）；（2）將等差數列問題轉化為方程在指定區間內是否有解的問題，再構造函數，利用函數的單調性確定零點的個數.

【解析】 （1）由函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數g（x）=sinx.

（2）當x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.

設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結】 探討三角函數的性質，難點在于三角函數解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓練4】

（1）函數y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在RtACH中解得AC=11cos72°，據此可得cos72°的值所在區間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.

例5已知函數f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據誘導公式和特殊角的三角函數值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結】 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數.

【變式訓練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓練答案】

1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇7

1 引言

虛擬現實是當前最熱門的技術之一，隨著《阿凡達》、《侏羅紀公園》、《星際穿越》等3D電影的普及，虛擬現實技術及行業迎來了前所未有的發展機遇，目前正面臨著爆炸式增長。形象、逼真的三維真實感圖形建模是虛擬現實的基礎，也是其“沉浸感”體驗的前提，廣泛應用于影視、游戲、醫學等領域。三維真實感圖形建模與物體所遵循的物理模型密切相關，如海浪波動、導彈飛行、車輛運動等，分別遵循波動理論、飛行動力學、碰撞理論等的約束。只有遵循嚴格的物理規律，才能有效模擬出逼真的三維模型。

三角函數是一類經典的數學函數，包括正弦、余弦、正切、余切以及它們的反函數等，各類三角函數間有著復雜的變換關系，如和差關系、倍角關系、半角關系、和差化積關系等。同時，三角函數也是一類典型的波動類函數，通過不同頻率、相位、振幅的三角函數運算，可以生成不同類型的波函數。因此，三角函數也是波動類真實感圖形建模的數學基礎，如海浪、電磁波、舞動的旗幟、毛發、飄動的衣物等。

本文對三維真實感圖形建模中的一個典型問題――三維海浪的建模進行了研究，分析了海浪建模中的三角函數及其數學描述，基于三角函數建立了海浪波動的物理模型，給出了三維海浪的繪制方法，并基于三維建模軟件OpenGL進行了仿真實現。

2 海浪建模中三角函數的數學描述

選取與海浪建模密切相關的三角函數進行討論：

?時間自變量三角函數描述：

（1）

其中：A為振幅，ω為角頻率，φ為初始相位。此公式可理解為波動類物理現象的基本描述，包括電磁波、水波、聲波等，復雜的波動方程是該公式的變換疊加。

?和差運算：

三角函數的和差運算主要用于三維建模中的旋轉變換，通過極坐標形式，推導出變換前后的對應關系。以下是由公式（2）推導出的二維旋轉變換關系（限于篇幅，推導過程略）：

其中，點P1是點P圍繞原點旋轉β角得到的新點，P1x、P1y分別是點P1的x和y坐標，Px、Py分別是點P的x和y坐標。三維旋轉比較復雜，但可以此類推。

3 基于三角函數的三維海浪建模

海浪的本質是一種水體波動，因此遵循波動約束，對海浪進行仿真模擬，必須遵循其物理運動規律。

3.1 海平面三角函數建模

首先定義坐標系：在海平面上，坐標原點為當前視點，X軸正方向為水平向右，Y軸正方向為豎直向前。設海平面是一個等間距采樣的網格點，網格交叉點處的Z值為水體高度。如圖1所示。

3.1.1 單個波僅沿坐標軸一個方向傳播

在X軸和Y軸上傳播公式如下：

其中： A為最大振幅，k=2π/λ為波數，λ為波長；ωi=2πf為角頻率，f為頻率；φ為初始相位。

3.1.2 單個波在坐標平面內傳播

單個波在坐標平面內的傳播是X軸和Y軸傳播的疊加，如下：

其中：θ為波的傳播方向與X軸的夾角，其他參數含義不變。

3.1.3 海面波動模型

依據波動理論，將海浪形成過程分為兩步：一是不同波長、振幅的一系列波的疊加；二是相同波長但具有不同的傳播方向即與X軸的夾角不同的波的疊加。

設網格交叉點處（x， y）的水體高度初始值為A0，則對于海面點（x， y）在t時刻對應的瞬時波高可表示成：

其中：n為不同波長的波數量；m為同波長沿不同方向傳播的波數量；A0為初始浪高；Aij為最大振幅；ki=2π/λi為波數，λi為波長；ωi =2πfi為角頻率，fi為頻率；θj為波的傳播方向與X軸的夾角；φij為初始相位。

3.2 三角形組網

公式（6）給出了海平面的波動模型，基于該公式，我們可以仿真海平面任意時刻、任意位置的海浪波高?，F對海平面網格進行三角形剖分，以形成幾何模型。其剖分規則為：將正方形網格對角頂點按統一方向相連，從而將每一網格規則剖分為兩個三角形。如圖2所示。

三角形組網完成后，海面將形成由連續三角形組成的網面，每個三角形頂點的高度坐標由公式（6）決定。此時，海面的波浪起伏狀態已經完成計算與建模，只需將三角形網按照圖形顯示的規則進行繪制即可（通?？山柚S圖形建模與繪制的工具軟件，如OpenGL）。

3.3 實驗結果及其分析

在公式（6）中，在零時刻取A0=0、n=40、m=10、Aij=random（0， 1）、ki= random（5， 10）、θj= random（0， 2π）、φij= random（0， π/2）；在采樣網格點數為400×400條件下，基于三維建模軟件OpenGL模擬生成了動態海浪，如圖3所示。

圖3是三維海浪的模擬效果。其中，圖3（a）是線框模式，從中可以清楚看出海面網格在公式（6）的作用下，其網格點的高低起伏狀況；圖3（b）是紋理填充模式，在紋理和光照條件下，較好地模擬了真實海浪。從圖3可看出，基于三角函數的海浪模擬可獲得較高的真實感，隨著參數選取的不同，可生成多種類型效果。進一步的考慮是，將風的因素融合進公式（6），從而引入浪的卷曲和泡沫化等特效。

4 結論

三角函數是一類經典的數學函數，由于其具有波動性質，可有效用于波動類三維圖形建模。本文對三角函數在真實感三維海浪建模中的應用進行了研究，給出了建模與繪制方法，最后進行了仿真實現。進一步的工作是將該建模方法擴展至電磁、震動等領域的仿真模擬。

參考文獻

[1]郭宇承，谷學靜，石琳.虛擬現實與交互設計[M].武漢大學出版社，2015（07）.

篇8

1.教學內容在深度、廣度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材編寫應遵循的一般原則。螺旋體現在學習主題的相同而內容的深度、廣度的不同；上升體現在層次的提升，以及課程內容的深度、廣度的適度加深上，而不是簡單地再現或重復[2]。

圖像變換是高中函數學習的一項重要內容，主要涉及到圖像的平移、伸縮（縱向和橫向）、翻折等。高中階段對于這些變換的研究主要體現在指數函數、對數函數、三角函數圖像的變換上。指數函數、對數函數圖像的變換出現在高中數學必修1教材上，三角函數圖像的變換出現在高中數學必修4教材上。從指數函數到對數函數，再到三角函數，研究圖像變換的載體改變了，教學內容的深度也在改變；從平移變換到伸縮變換，教學內容的廣度也隨之改變。教學內容的呈現順序如下圖所示。

2.教學內容呈現的方式過于依賴合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演繹推理是新課程教材的一大亮點，它有利于在知識傳授的同時滲透方法論的教育，有利于幫助學生掌握科學的學習方法。教材編寫者在編寫教材時除了將“合情推理和演繹推理”作為獨立的教學內容外，同時還用合情推理和演繹推理來引領數學的發現。但在具體操作時，尚存在教學內容呈現的方式過于依賴合情推理現象，忽視學生已有的學習基礎，忽視學生思維發展規律的現象，顯得機械單一。這對學生科學的探究素養的形成是不利的。對蘇教版高中教材指數、對數、三角函數圖像變換編寫進行比較，可以發現這三部分教學內容在呈現方式上都強調了以圖識性、數形結合的思想，基本都按“作圖觀察——理性思考——得出具體結論——一般化”的方式編寫。比較如下。

（1）作圖觀察

①指數函數圖像平移變換作圖如下：

②對數函數圖像平移變換作圖如下：

③三角函數圖像平移變換作圖如下（由于相位變換、周期變換和振幅變換呈現的方式完全相同，故此處只呈現相位變換教材編寫的方式）：

（2）理性思考

①指數函數：函數y=2x-2中x=a+2對應的y值與函數y=2x中x=a對應的y值相等；

②對數函數：函數y=log3(x+2)中x=a-2對應的y值與函數y=log3x中x=a對應的y值相等；

③三角函數：函數y=sin(x+1)圖像上橫坐標為t-1的點的縱坐標，與函數y=sinx圖像上橫坐標為t的點的縱坐標相同。

（3）得出具體結論

①指數函數：將函數y=2x的圖像向右平移2個單位長度，就得到函數y=2x-2的圖像；

②對數函數：將函數y=log3x的圖像向左平移2個單位長度，就得到函數y=log3(x+2)的圖像；

③三角函數：函數y=sin(x+1)圖像可以看做是將函數y=sinx圖像上所有的點向左平移1個單位而得到的。

（4）一般化

①指數函數：以“思考”的形式呈現：“函數y=ax+h與函數y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的圖像之間有什么關系？”

②對數函數：以“思考”的形式呈現：“函數y=loga(x+b)與函數y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的圖像之間有什么關系？”

③三角函數：直接告知一般化結論：函數y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的圖像可以看做是將函數y＝sinx的圖像上所有點向左（當φ>0）或向右（當φ

教材教學內容的呈現強調了從特殊到一般，利用歸納推理的方式進行數學發現，再進行邏輯推理。這是一種常用的數學研究的方法，學生在初三學次函數圖像的變換時實際上已經接觸這種方法了。但這種方法是否適用于所有不同學段的學生？學生在不斷獲取新知的過程中，思維方式和學習能力是否始終不變？數學的重要結論是否一定要通過合情推理的形式發現呢？數形結合思想的運用是否一定要從形開始，依圖識性？能否依性作圖？能否改變教學內容的呈現方式，以適合不同層次學生發展的需要？

二、同一主題教學內容呈現的基本原則

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常見題型：①三角函數的圖象與性質；②化簡和求值；③三角形中的三角函數；④最值．本文對高考重點、?？碱}型進一步總結，強化規律，解法定模，便于同學們考試中迅速提取，自如運用．

考點1．三角函數的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構．即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數名稱之間的關系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數式的結構特點．

考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數間的關系式和誘導公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.

例2 設函數f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內角和定理：三角形內角和為π，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化．

考點3．求三角函數的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數式，以及利用三角函數的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數的性質, 誘導公式、同角三角函數的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（3）考查利用三角函數的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當m=0時，求f(x)在區間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當tanα=2時，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉化為二次函數去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉化為斜率去通過數形結合解決．

考點4．三角函數的圖象和性質：此類題目要求同學們在熟練掌握三角函數圖象的基礎上對三角函數的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.

例4 已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期及在區間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調遞增，在［π6，π2］上單調遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復雜三角函數的性質，一般是將這個復雜的三角函數化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數問題的基本思路.

篇10

1.概念記憶困難

雖說高中生已經具備了學習三角函數的基礎，但很多學生對三角函數的概念還是一知半解，對各種誘導公式、轉換公式的記憶相當模糊.初中的三角函數注重考查學生對有關公式的理解，而高中的三角函數更多的是考查學生對公式的應用和變形.高中的三角函數教學是從對簡單函數的推導和變形開始的，要求學生有較強的推導能力.如果學生對三角函數的學習僅僅停留在記憶上，卻忽略對三角函數方程式和幾何意義的理解，必然難以學好三角函數.

2.公式推理困難

在高中三角函數教學中，正弦定理、余弦定理、誘導公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化積公式、積化和差公式等一系列公式的推理給學生帶來了巨大的困難.很多學生在做題的過程中，難以確定具體的公式內容，自然也就難以學好三角函數.如此眾多的公式要求學生準確快速地反應、記憶，必然是難以實現的，教師必須尋求高效的公式轉換記憶策略.

3.綜合運用困難

三角函數的知識已經滲透到高中數學的方方面面，無論是填空題、計算題還是簡答題，都離不開它的幫助.筆者在長期的三角函數教學中發現，很多學生難以意識到何時該用三角函數求解，特別是對于一些隱性的函數問題.此外，很多學生雖然意識到要用三角函數知識，卻不清楚具體該用哪一類.高中數學對三角函數的考查往往是綜合、全面的，這就要求學生必須熟練掌握各類三角函數的概念、性質、誘導公式等.同時，三角函數與向量、幾何圖形、重要不等式、二次函數等知識也有著密切的聯系，教師必須對學生實施綜合的三角函數教學.

二、三角函數教學策略

1.巧施策略，深化學生記憶

對于三角函數的教學，首先要保證的是學生對各類三角函數的定義、公式的記憶.只有學生記得熟、記得準，在函數解題中才會更加得心應手.筆者相信，結合三角形的邊角知識對學生進行三角函數定義的教學應該不是問題.筆者在此將對三角函數的誘導公式進行總結，為學生提供巧妙的、深刻的記憶方法.

例如，在三角函數的誘導公式教學中，筆者常常假設一個任意角α，要求學生掌握這些誘導公式的記憶，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.對于此類公式的記憶，筆者提出：終邊相同的角為同一三角函數.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我們得到以下記憶規律.

①奇變偶不變：對于三角函數中的變角±α，當k為奇數時，需要變換函數類型；當k為偶數時，函數類型不變.

②符號看象限：誘導公式的正負號是視α為銳角時得到的函數值的正負而定.

③一全正，二正弦，三兩切，四余弦：這是用來記憶各類三角函數在各個象限里的正負號規律.

此外，對于一系列復雜的三角函數公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函數的半角公式、多倍角公式及和差化積公式等，我們必須實施推導教學，將各類三角函數公式的推導過程傳授給學生，使學生在遺忘的情況下，也可以進行自主推導和驗證，從而達到高效記憶的效果.