導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇圖論在化學中的應用，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內容能為您提供靈感和參考。

篇1

生物化學作為一門基礎學科是連接基礎課與臨床課的橋梁，在醫學本科教學中具有非常重要的作用。然而，該學科概念抽象，分子結構繁多，代謝途徑錯綜復雜，學生普遍認為難以理解和記憶。2007年9月～2008年2月對教學方法進行“圖表式”改革，收到良好的效果，現報告如下。

1 對象與方法

1．1 研究對象

隨機選取以傳統教學為主的80名學生作為對照組，以“圖表式”教學為主的80名學生作為實驗組，兩組學生在上生物化學課以前學習成績無明顯差異。

1．2 教學方法

以《生物化學》第6版[1]第1章“蛋白質化學”到第7章“氨基酸代謝”為本次教改的授課范圍。對照組同學以文字講解為主描述每章的主要內容，實驗組同學根據每章節內容設計圖表，以圖表來概括講述章節的主要內容。

1．3 教學效果評價

采用師生懇談與自行設計的調查問卷方法。參考文獻[2]和[3]設計問卷了解學生對“圖表式”教學方法的評價及對基礎知識掌握情況；抽取期末考試這7個章節的題目，按百分比值校正學生的實際分值，≥80分為優，60～79分為良，＜60分為差；通過2組學生在這些題目中取得的成績來判斷“圖表式”教學方法的效果

1．4 統計學處理

用SPSS10.0 統計軟件，實驗數據用x±s表示，以t檢驗及χ2檢驗進行差異的顯著性檢驗。

2 結果

實驗組學生對“圖表式”教學方法的評價結果：很好為30 %，較好為50 %，一般為20 %。實驗組學生對課堂內容理解率達到60.4%，比對照組50.3%提高10.1個百分點；實驗組學生對課堂內容不理解率為10.5%，比對照組24.9%下降14.4個百分點。調查表明，實驗組課后能記住50%課堂內容的學生＞85 %，而對照組中能在課后記住50%課堂內容的學生為60%～70 %。兩組學生期末成績，見表1。表1 實驗組與對照組《生物化學》期末考試成績比較（略）注：（1）實驗組與對照組比較，P＜0.05。

3 討論

生物化學理論知識比較抽象，難以理解，需要記憶的知識點很多。因此，改進教學方法，幫助學生克服困難，是提高教學質量的重要環節[4]?！皥D表式”教學具有形象直觀，變復雜為簡明，看后不易忘記等優點，克服了文字抽象、拖沓等缺點。利用圖表的優點，可以幫助學生形象直觀地掌握課程的重點和難點。上課時以講解圖表為主，教師講起來有邏輯性，學生聽起來易懂便于記憶。如在講“酶的化學組成”這一節內容時，傳統的授課方法安排半個學時給學生講解酶的組成成分及相關功能，課后仍有部分學生混淆全酶中蛋白質部分和非蛋白質部分的功能，而“圖表式”教學方法只用一個結構圖就可以清楚講解要求學生掌握的基本內容。實踐證明，“圖表式”教學不僅可以大幅度提高教學過程中的信息傳遞量，而且加深學生對知識點的理解，增強記憶，收到事半功倍的效果。

以物質代謝為主的動態生化是生物化學的主要知識點之一，生物體內各種物質代謝不是孤立的，橫縱向之間相互聯系構成網絡式知識結構體系，所以必須用聯系的觀點學習物質代謝[5]。傳統的教學方法在這方面做得不夠，但“圖表式”授課方式顯示出它的優越性。如在講完三大物質代謝后，可以讓學生把三大物質代謝的主要代謝過程用“箭頭反應式”畫在同一張紙上，代謝過程中反映代謝途徑特點的步驟，如關鍵酶催化的步驟、產生能量的步驟等，用不同顏色的筆標記出來；另外不同代謝途徑的交叉點也用記號筆標記出來。這樣，在圖表上可以一目了然地知道每個代謝途徑的特點，不同代謝途徑的聯系點。學生在反復復習這個圖表后，不僅容易記憶生物化學涉及的主要代謝途徑，而且融會貫通這些代謝過程，掌握它們之間的聯系，達到學活知識的目的。

“圖表式”教學有利于課堂總結。由于課時的安排，學生2～3周才能學完1章的內容，這可能會直接影響學生對本章內容認識的整體性和記憶的深刻程度，“圖表式”教學方法利用圖表具有概括性的特點彌補這方面的不足[6]。在一章知識學完后，利用幾個能概括整章主要內容的圖表串聯知識點，師生共同總結本章節的主要內容。這樣，使學生學習時總體思路明確，條理清楚，有利于連貫性地掌握知識。另外“圖表式”教學方法有利于引導學生總結新舊知識的差異，通過總結，不但復習鞏固了所學的知識，而且加深了對新學知識的理解。

“圖表式”教學最大的問題是如何設計出合格的圖表。圖表要具有簡捷直觀、方便記憶，而且還要求具有全面性，包含章節要求掌握的主要內容，這些對教師是嚴峻的考驗，目前對于一些章節的圖表還沒有特別理想的設計，需要進一步深入研究。

參考文獻

[1]周愛儒.生物化學[M].6版.北京：人民衛生出版社，2004：7-185.

[2]蔣鶇，肖朝倫，王景傳.“學生主講、老師助講”在系統解剖學實驗課的應用[J].貴陽醫學院學報，2006（3）：279.

[3]楊勤，楊婷，方麗，等.CAI課件作為概括性總結在《病理生理學》教學中的應用[J].貴陽醫學院學報，2005(5):469-470.

篇2

文章編號：1005－6629(2007)07－0018－04 中圖分類號：G633.8 文獻標識碼：B

1關于“思維導圖”的認識

“給你的思維畫一幅導圖”，這是被譽為“世界記憶之父”托尼?博贊的一句名言。 基于圖像和聯想是大腦語言的“思維導圖”，這是一種新的思維模式[1]。腦科學研究表明，大腦神經是一個由中心向外發散的神經元。因此，從某種意義上講，“思維導圖”是大腦思維的真實體現。運用“思維導圖”，使人的思維方式更貼近大腦自身的思維方式，這樣與大腦進行對話、交流就會變得直接、自然和簡單。

關于“思維導圖”繪制的操作步驟，博贊這樣介紹：首先，將“主題”畫在紙的中央，成為思考的中心。但“主題”應該是具體的和有意義的，這樣更有助于回憶和想像。其次，考慮“次主題”，并由主題向外擴張分枝。主要的分枝個數最好維持在5－7個。最后，在“次主題”后面列出“關鍵詞”，表達各分枝的內容。

在繪制過程中，還需注意：①盡可能使用顏色。因為顏色和圖像，能使大腦興奮，能進行充分聯想和發散。②盡可能使用曲線。因為曲線則能吸引人的注意。③在用線條連接主要分枝、二級分枝以及三級分枝時，越接近主題時，分枝就越粗。當然，也可使用相關軟件，如Inspiration、Mindmanager、Personalbrain、Brainstom等，進行“思維導圖”的繪制。

2關于“思維導圖”的實踐

2.1“思維導圖”在教師化學教學中的應用。

2.1.1利用“思維導圖”，有助于我們從整體上認識和把握“高中化學新課程”的全貌。

在學習《普通高中化學課程標準（實驗）》[2]（以下簡稱， 課程標準）時， 筆者利用Mindmanager 5 Pro漢化版“思維導圖”軟件繪制了一幅“思維導圖”（如圖1）?！咀ⅲ合抻谄恳粋€節點部分的內容沒有張開，下同】

從圖1可以看出，一幅“思維導圖”的價值，不僅在于“濃縮”了近3.4萬字的《課程標準》，更重要的是如果透過主題，向四周看，就猶如是一幅《課程標準》的全景圖，讓人感覺站在《課程標準》的最高點，對我們整體把握《課程標準》的全貌，是大有裨益的。如果我們再透過“分枝”向“中心”看，讓人感覺到雖然思維在“分枝”，但始終不忘“中心”。真所謂“一幅圖勝過千言萬語”！

2.1.2 利用“思維導圖”，有助于我們更好地開展校本教研，進行主題教學設計。

利用“思維導圖”進行主題教學設計時，我們的做法是：首先，每位教師對將要設計的主題，繪制一幅“思維導圖”。其次，備課組長召集小組成員，指定一名成員為記錄員，各成員交流自己制作的“思維導圖”，同時約定：在交流過程中，不允許批評別人的想法，所有的意見記錄下來，任何人不作判斷性的結論，集中注意力，不允許私下交流，盡可能地發散、聯想。再次，備課組長對交流的相關信息，進行整理和歸納，對原有的“思維導圖”進行改進、完善和豐富，形成凝聚集體智慧的主題教學設計。最后，將最終的主題教學設計，復制給小組成員。圖2是在一次校本教研活動中，我們高一化學備課組討論“酸雨與二氧化硫”教學設計時，最終繪制的“思維導圖”。

2.1.3利用“思維導圖”，有助于我們建立良好的師生關系，促進教學方式的變革。

“思維導圖”的繪制，需要寬松的氛圍。在寬松的氛圍中，能促進師生之間和生生之間的有效交流。有效的交流，能進一步提高師生思維的“含金量”，讓思維更加活躍，讓思維更加流暢。因此，從某種意義上講，“思維導圖”帶來的寬松氛圍，有助于我們建立良好的師生關系。同樣，良好的師生關系，也必將有助于營造寬松的氛圍。利用“思維導圖”進行組織教學，這種對話式、互動式的課型，使課堂將更好地圍繞“主題”展開，讓學生真正成為學習的主人。這種教學方式的變革，有助于探究式和發現式教學的開展，更有效地落實課堂教學中學生的主體性。

2.1.4利用“思維導圖”，有助于我們達成教學的三維目標，更好地提高學生的科學素養。

利用“思維導圖”進行主題教學時，可以更好地“調動”存儲在學生大腦中相對應的化學知識，激活學生對該主題的思維，讓學生的思維過程更加流暢、條理更加清晰。同時，促進學生綜合運用多種方法，如比較、分類、歸納、概括等，對主題以及與主題相關聯的知識進行加工和處理。當學生以“思維導圖”的形式加以呈現該主題時，學生內心的喜悅溢于言表，這有助于培養學生學習化學的興趣，同時也能感受到探究化學的艱辛和坎坷。這樣的主題教學，不僅促進教學三維目標的達成，更為重要的是使學生領悟到“知識”背后蘊含的科學思想和科學方法，增強創新精神和實踐能力，進一步提高學生未來發展所需的科學素養。

2.2“思維導圖”在學生化學學習中的應用。

2.2.1 利用“思維導圖”，有助于學生對知識進行整理、鞏固和記憶，提高核心概念的理解度。

在化學教學的過程中，筆者引入了“思維導圖”指導學生學習化學。在學完一個化學章節或單元后，讓學生利用“思維導圖”，對所學知識進行整理。然后，在全班學生中，展示學生的“思維導圖”作品，并由學生投票評選 “思維導圖”優秀作品。對評選出的優秀作品，給學生積極的激勵與評價，同時進行適當的獎勵，如一本書、一本筆記本等，提高學生利用“思維導圖”學習化學的積極性。因此，“學習化學并不再是一件難事，關鍵是我們運用什么樣的學習方法?！毕旅嬉欢螖⑹?，是一位獲獎學生的感言。

“起先，我覺得這與平時的知識整理沒多大區別，但做著做著，我便發現以前混沌一片的化學性質、離子反應、氧化還原好像頓時清晰起來。通過‘思維導圖’的繪制，就好像把所有學過的內容都詳細地梳理了一遍，層次分明，條理清楚。以前，覺得又亂又繁的知識似乎簡單了許多。我再次翻開練習，竟發現我已不用翻看筆記本，每道題要用的知識，就像電腦菜單一樣，一級級呈現出來時，不僅復習了當前知識，還對相關聯的知識進行了加深和鞏固。利用‘思維導圖’學習化學，真使我受益匪淺。”

2.2.2利用“思維導圖”，有助于學生對知識注入更多的自我思考，提高化學學習的興趣。

對同一個主題的“思維導圖”而言，由于學生的知識結構、思維習慣、認知程度以及學習喜好的不同，其制作的“思維導圖”也不同[3]。但這樣的“思維導圖”，使學生對知識注入更多的自我思考，并以圖像的形式呈現出來。因此，這種個性化的“思維導圖”能夠充分體現學生的思維特點，有助于提高學生化學學習的興趣。但學生不能為了“思維導圖”而“思維導圖”，應該帶著主動的、積極的一種學習心態，去完成屬于自己的“思維導圖”。

2.2.3利用“思維導圖”，有助于學生更好地掌握學習方法，轉變學習方式，提高學習能力。

利用“思維導圖”，可以幫助學生更有效地進行預習功課、做課堂筆記以及復習功課等工作，有助于提高學習效益。同時，利用“思維導圖”指導學生開展綜合實踐活動，學生將有更大的發揮自我的空間，有助于學習方式的轉變，使學生的自主學習、合作學習和探究學習成為可能，進一步提高學生的學習能力。如，對《元素周期律和元素周期表》這一課題開展研究性學習時，學生們利用“思維導圖”設計了如下課題（圖3）。同時，還可利用“思維導圖”指導各項課題正常開展，進一步提高研究性學習的目的性、針對性和實效性。

2.2.4利用“思維導圖”，有助于學生發散性思維和創造性思維的形成，提高分析問題解決問題的能力。

利用“思維導圖”，學生可以更好地圍繞主題，進行充分地聯想、發散性的思考，將與主題相關聯的知識分層分類進行管理，使“思維導圖”真正成為我們的“學習地圖”。同時，當置身于一個新的問題情境時，學生可以利用“思維導圖”，對其所面對的核心問題，進行較為系統地分析與判斷，找到解決問題的關鍵性因素或關鍵環節，利用存儲在頭腦中與核心問題相關聯的“知識群”，而不是單一的“知識點”，加以分析、判斷和解決。

3關于“思維導圖”的思考

3.1 “思維導圖”，不僅要循序漸進、積極使用，而且還要廣泛交流、創造性使用

對于初學者來說，在了解“思維導圖”的制作原理和基本方法的基礎上，堅持繪制屬于自己的“思維導圖”，直到熟練為止。對于同一個主題可以多次制作“思維導圖”，通過這種方法可以挖掘對主題的理解，發展自己的思維水平。同時經常與有制作“思維導圖”經驗的人進行交流和探討，不斷吸收別人的經驗，提高自己繪制“思維導圖”的水平。

3.2 “思維導圖”，不僅是關于思維的一種工具，而且還是基于思維的一種思想方法

它給我們帶來的，不僅是關于思維的一種工具，更重要的是蘊含在工具其中的思想方法。這種思想方法，使其應用的領域成為無限可能。

3.3 “思維導圖”，不僅能加深我們對化學學科的理解，而且還能促進化學學科與信息技術學科間的整合

“思維導圖”成為信息技術與化學學科整合的有效途徑之一?，F在有許多軟件可以進行“思維導圖”的繪制，為“思維導圖”的美觀、修改和增刪提供了極大的便利條件[4]。

3.4 “思維導圖”，不僅能促進教師個人的專業發展，而且還能促進學習型團隊的建設

“思維導圖”倡導與追求的，不僅僅是一種個人的智慧，更重要的是一種團隊的智慧。在一種寬松的氛圍中，大家圍繞主題，進行坦誠交流、深度對話和思維碰撞。這樣，更容易打破學科內部之間的“知識壁壘”，還容易使學科知識間融會貫通；另外，教師之間的“知識壁壘”也被打破，最終大家對討論的主題一定會形成更全面、更深刻、更系統的認識。

參考文獻：

[1]博贊（Buzan,T）(張鼎昆譯).大腦使用說明書[M].北京:外語教學與研究出版社:2005.

篇3

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）45-0233-03

一、引言

圖論是組合數學的一個重要分支。它以圖為研究對象，這種圖由若干給定的點及連接兩點的邊所構成，通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，以點代表事物，以連接兩點的邊表示兩個事物間具有這種關系。圖論的應用非常廣泛，在實際的生活生產中，有很多問題可以用圖論的知識和方法來解決，其應用性已涉及物理學、化學、信息論、控制論、網絡理論、博弈、運輸網絡、社會科學以及管理科學等諸多領域。目前高校很多課程都涉及到圖論知識，例如離散數學、數據結構、算法分析與設計、運籌學、組合數學、拓撲學、網絡優化等。甚至有些專業將圖論作為一門必修或選修課程來開設。

由于圖論課程具有概念多、公式復雜和定理難證明、難理解等特點，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解，學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題。從而會使學生感到圖論的學習非?？菰?。大學數學課程教學改革的趨勢，越來越注重數學的應用性，而數學建模過程就是利用已經掌握的數學知識來解決實際問題的過程。在當前實現數學作為一種應用能力的過程中，使用數學解決實際問題的能力培養是非常重要和必需的。因此，在大學數學類課程的教學中融入數學建模思想是目前數學課程教學改革的一個大的趨勢。由于圖論的概念和定理大多是從實際問題中抽象出來的，因此圖論中的諸多模型和算法是數學建模強有力的理論依據。所以在圖論課程教學中注重介紹這些概念和理論的實際背景，引導學生利用數學建模思想方法學習圖論的相關概念和定理，探究圖論的發展規律，從而將更好地幫助學生理解和掌握這些概念和理論。

二、數學建模思想方法

數學模型就是用數學語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構。這個結構可以是公式、方程、表格、圖形等。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構（即數學模型）之后，我們就可以用相關的數學知識來求出這個模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，這個過程便稱為數學建模。其目的是將復雜的客觀事物或聯系簡單化并用數學手段對其進行分析和處理。建立數學模型解決現實問題要經過模型準備、模型假設、模型構成、模型求解和模型分析這五個步驟。模型準備就是了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的各種信息，盡量弄清對象的特征，形成一個比較明晰的“問題”。模型假設是根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，做出必要的、合理的簡化假設。模型構成是根據所作的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量等的數學模型。模型求解是采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數學軟件和計算機技術求解。模型分析就是對求解結果進行數學上的分析，并解釋為對現實問題的解答。由此可見，思想數學建模就是將數學的理論知識應用于解決實際問題，培養數學建模思想就是鍛煉應用數學的能力。

在圖論的教學中引入數學建模思想，將生活中的實際問題引入課堂，利用圖論知識分析實際問題，讓學生感受到圖論貼近生活。教學中可以引導學生自己尋找與圖論相關的實際問題，利用圖論知識建立實際問題的數學模型，并進行報告和討論，讓學生發表自己的見解和看法，在此過程中有助于學生對所學知識的融會貫通和掌握，大大提高學生學習圖論的興趣。

三、數學建模思想方法融入圖論教學的實踐

目前，各門數學課程教學改革所面臨的一個課題是如何增強應用數學知識解決實際問題的意識。在這樣的背景下，加之圖論知識的應用廣泛性，從而，將數學建模的思想方法融入到圖論課程教學中的研究和實踐已顯得刻不容緩。因此，結合圖論教學內容有機地增加數學建模教學內容，使廣大的學生能學習和體會到數學建模的基本思想方法，在日常的學習中培養學生應用圖論知識的意識，激發了學生學習圖論的積極性。

（一）在圖論定理公式中滲入建模的案例

在圖論某些定理證明的教學過程中可以適當地融入數學建模的思想與方法，把定理的結論看作一個特定的模型，需要去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，可根據預先設置的問題，情景引導學生發現定理的結論，從而定理證明的方法也隨之顯現。

案例1：設為任意無向圖，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，證明所有頂點的度數和=2m，并且奇點個數為偶數。

解析：證明該結論之前，首先任意選取若干個學生讓其隨機互相握手，并記下每個人的握手次數和每兩人之間握手的次數，由此可得每個人握手次數總和是每兩人之間握手次數的2倍以及握過奇數次手的人數一定是偶數?；又蠼榻B該定理稱之為握手定理，從互動過程中可以建立定理結論的模型，并且證明的思路也是顯而易見的。

（二）在應用性例題中滲入數學建模的方法

案例2：一家公司生產有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七種化學制劑，其中制劑（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之間是互不相容的，如果放在一起能發生化學反應，引起危險。因此，作為一種預防措施，該公司必須把倉庫分成互相隔離的若干區，以便把不相容的制品儲藏在不同的區，問至少要劃分多少小區，怎樣存放才能保證安全。

解析：首先建立模型，用圖來表示實例中這些制劑和他們之間關系，用頂點v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七種化學制品，把不能放在一起的兩種制品對應的頂點用一條邊連接起來，如圖1。

模型求解：由圖可得極小覆蓋的邏輯表達式為：

（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）

利用邏輯代數法則簡化上述邏輯表達式為：

v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6

從而可得全部極小覆蓋為：

（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）

由于極大獨立集與極小覆蓋集之間互補的關系，所以上圖的所有極大獨立集為（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取圖G的一個極大獨立集V1=（v2，v4，v6），將其著第一種顏色。在VG-V1中，所有極大獨立集為，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）將其著第二種顏色。在VG-V1-V2中僅有點v5，將其著第三種顏色，故χ（G）=3.

于是得到該化學制品的存放方案：至少需要把倉庫劃分為3個區，可以將c2，c4，c6三種制品，c1，c3，c7三種制品和制品c5分別存放在一個區。

（三）設計相關數學建模問題，提高學生應用圖論知識解決實際問題的能力

由于教學課時的限制，將數學建模的思想方法融入圖論課程教學時，不能專門地讓學生學習建模，只能通過一些簡單的模型給學生介紹數學建模的思想及方法。圖論是現代數學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，其求解思想滲透到自然學科的各個領域。因此，可以通過設計一些與圖論課程相關的課外建?；顒?，選擇符合學生實際并貼近生活的一些圖論問題，啟迪學生的論文查閱意識和能力，指導學生閱讀相關論文，最后以解題報告或小論文的形式提交他們的結果。促進學生應用圖論知識解決實際問題的能力。

四、結語

將數學建模思想方法融入圖論課程的教學中，使圖論課程教學與數學建模有機結合起來，激發學生學習圖論的興趣，培養學生勇于探索的精神，提高學生的動手能力，實踐表明這些方法能較好地提高圖論課程的教學效果。

參考文獻：

[1]Bondy J A，Murty U S R.Graph theory with applications[M].North-Holland：Elsevier，1976.

[2]翟明清.淺析圖論教學[J].大學數學，2011，27（5）：23-26.

[3]定向峰.將數學建模的思想和方法融入圖論課程教學中的一點嘗試[J].重慶教育學院學報，2006，19（6）：28-31.

[4]張清華，陳六新，李永紅.圖論教育教學改革與實踐[J].電腦知識與技術，2012，8（34）：8235-8237.

篇4

中圖分類號：G712文獻標識碼：A文章編號：1009-0118（2012）12-0129-02

圖論是一個應用比較廣泛的數學分支，在許多領域，諸如物理學、化學、運籌學、計算機科學、網絡理論、社會科學以及經濟管理等方面都有廣泛的應用。點、邊（或?。?、面、連通分支等是圖的基本要素，在圖論的證明中經常用數學歸納法對點的個數、邊的個數及連通分支個數等進行歸納。一般情況下，由于證明過程中需保持圖的相關性質，因而需要選擇合適的要素進行歸納。有些結論的證明既可以對一種要素的個數進行歸納，也可以對另一種要素的個數進行歸納；既可以用第一數學歸納法證明，也可以用第二數學歸納法證明，其中數學歸納法的運用既體現了嚴謹性的要求，又體現了靈活性，表現手法多樣[1]。

一、數學歸納法

作為一個好的數學家，或者一個優秀的博弈者，或者要精通別的什么事情，你必須首先是一個好的猜想家，而要成為一個好的猜想家，我想，你首先是天資聰慧的。但天資聰慧當然還不夠，你應當考察你的一些猜想，把它與事實進行比較，如果有必要，就對你的猜想進行修正，從而獲得猜想失敗與成功的廣泛經驗。在你的經歷中如果具備這樣一種經驗，你就能夠判斷得比較適當，碰到一種機遇，就能大致預知它的是非結果。

自然科學中的“經驗歸納法”，是從某一現象的一系列特定的觀察出發，歸納出支配該現象所有情況的一般規律，而數學歸納法則是迥然不同的另種手段，它用來證實有關無限序列（第一個，第二個，第三個，等等，沒有一個情況例外）的數學定理的正確性。數學歸納法的原理是奠基在下屬事實的基礎上：在任一整數r之后接著便有下一個r+1，從而從整數1出發，通過有限多次這種步驟，便能達到任意選定的整數n。數學歸納法原理與經驗歸納法是完全不同的，一般的定律如果被證實了任意有限次，那么不論次數多么多，甚至至今尚未發現例外，都不能說該定律在嚴格的數學意義下被證明了，這種定律只能算作十分合理的假設，它容易為未來的經驗結果所修正。在數學中，一條定律或一個定理所謂被證明了，指它是從若干作為真理接受的假設出發而得到的邏輯推論。人們考察一個定理，如果它在許多實例中是正確的，那么就可猜想定理在普遍意義下將是真的；然后人們嘗試用數學歸納法以證明之。如果嘗試成功，定理被證明為真；如果嘗試失敗，則定理的真偽未定，有待以后用其他方法予以證明或者[2]。

二、數學歸納法的具體表現形式

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法，而數學歸納法屬于完全歸納法，它又分為有限數學歸納法和超限數學歸納法，對于后者，在實變函數論中會學到；前者有兩種不同的形式，它們分別敘述為：

第一數學歸納法：如果性質P（n）在n=1時成立，而且在假設了n=k時性質P（k）成立后，可以推出在n=k+1時性質P（k+1）也成立，那么我們可以斷定性質P（n）對一切自然數n都成立。

第二數學歸納法：如果性質P（n）在n=1時成立，而且在假設了對所有小于或等于k的自然數n性質P（n）都成立后，可以推出在n=k+1時性質P（k+1）也成立，那么性質P（n）對一切自然數n都成立。

數學歸納法是一種常用的不可缺少的推理論證方法，第一數學歸納法與第二數學歸納法在數學的證明中經常用到，而反歸納法、跳躍歸納法與雙重歸納法在數學的證明中不是很常見的。然而如上所述，利用數學歸納法證明與圖論有關的命題，可降低證明過程的復雜性，使推理過程簡單、清晰，也保證了推理的嚴謹性。

例1：某生產隊科學實驗小組決定研究n（n≥2）種害蟲之間的關系，然后想法消滅它們，經實驗，他們發現，其中任意兩種總有一種可吞食另一種。試證明可把此幾種害蟲排成一行，使得前一種可吞食后一種。證明⑴n=2時，命題顯然成立。⑵設n=k時（k≥2），結論成立。我們不妨以ai（i=1，2，…，k）表示第i種害蟲，記這時可將它們排成a1a2，…ak，其中前一種可吞食后一種。用（ak>ak+1表示可吞食a+1）

下面考慮n=k+1時的情形，即在上面情形里加進一種害蟲ak+1（當然，我們還可以將k+1種害蟲分為兩組，一組k，一組一種，由歸納假設第一組k種可排成a1，a2，…ak，使前一種可吞食后一種，再將第二組的一種記為ak+1加入），將有面兩種情形：

（1）若ak+1>a，則可將ak+1置a1前，則有ak+1>a1>a2>…ak。命題為真；（2）若a1>ak+1，再將ak+1與a2放在一起試驗，若ak+1>a，可將ak+1置a1后a2前即可，這時有a1>ak+1>a2>Λ>ak，命題為真。否則可重復往下試驗，經過有限次（≤k次），必有下列情形之一：ai-1>ak+1>ai，問題解決。否則ak>ak+1，則可置ak+1于ak之后。此時有a1>a2>…>ak>ak+1，命題亦成立。

綜上，命題對k+1成立，從而對任意自然數（n≥2）成立。

第二數學歸納法的應用

例2：證明（1）當n=1時，D1=cosθ，猜想成立。（2）假設n≤k-1時，Dk=coskθ，當n=k時，由式（1），有Dn=2cosθcos（n-1）θ-cos（n-2）θ=cosnθ+cos（n-2）θ-cos（n-2）θ=cosnθ，故k=n時，有Dk=coskθ，歸納法完成，故對一切n∈N*，都有Dn=cosnθ?？傊?，數學歸納法的兩個步驟，缺一不可。即都是必須的，否則將不完整，甚至導出錯誤的結果。

三、圖論中數學歸納法中的應用

例3：設A是G的鄰接矩陣，證明Ak的（i，j）元素a（k）ij等于G中聯結vi和vj的長為k的途徑的數目[3]。

證明：對k用歸納法。當k=0時A0=I為p價單位矩陣。從任一頂點vi到自身有一條長為0的途徑，任何兩個不同的頂點間沒有長為0途徑，故當k=0時結論成立。

今設結構對k成立，由Ak+1=AAk，故有

a（k+1）ij=∑p12l=1aijalj（k）

由于aij同是聯結vi與vl的長為1的途徑的數目，alj（k）是聯結vl與vj長為k的途徑的數目，所以ailalj（k）表示由vi經過一條到vl，再經過一條長為k的途徑為vj的總長為k+1的途徑的數目，對所有的l求和，即得a（k+1）ij是所有聯結vi與vj長為k+1的途徑的數目，由歸納法原理，結論得證。

例4：p階圖G是一棵樹，證明G有p-1條邊。方法1（第一數學歸納法）：當p=2時，結論顯然成立。假設p=k時結論為真，當p=k+1時，因為G沒有圈，當把G中的一條邊收縮后，G的邊數和頂點數均少1，變成k個頂點的樹，由歸納假設，應有k-1條邊，再把去掉的邊放回，則頂點數為k+1而邊數為k，于是結論得證。

圖論這門學科的內容十分豐富，涉及的面也比較廣，圖論中的基礎知識，又是工程實際中經常用到的。數學歸納法在結論以及命題的證明過程中起了畫龍點睛的作用，是其它證明方法所不可代替的。

四、結論

數學歸納法是一種常用的不可缺少的推理論證方法，沒有它，在圖論中很多與自然數有關的命題難以證明；同時對于與自然數有關的命題，把n所取的無窮多個值一一加以驗證是不可能的，用不完全歸納法驗證其中一部分又很不可靠，數學歸納法則是一種用有限步驟證明與自然數有關的命題的可靠方法，其思維方式對于開發學生的智力有重要價值。在圖論學習中，掌握并應用好這一方法有十分重要的意義。

參考文獻：

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摘要：離散數學是計算機科學與技術專業的重要基礎課程，但是傳統的離散數學教學往往過于數學化。文章探討如何針對計算機科學與技術專業的特點，在離散數學教學中強化對學生邏輯思維和計算思維能力的培養，提出一些課程教學改革的針對性措施。

關鍵詞 ：離散數學；邏輯思維；計算思維

文章編號：1672-5913(2015)15-0027-04 中圖分類號：G642

基金項目：中山大學2012年教學研究項目“計算機大類離散數學課程平臺的整合優化”。

第一作者簡介：周曉聰，男，副教授，研究方向為軟件工程，isszxc@mail.sysu．edu．cn。

1 背景

離散數學是現代數學的一個重要分支，研究離散對象的結構及其相互關系。離散數學的主題包括數理邏輯、集合論、圖論、組合數學、數論、抽象代數、自動機理論等。離散數學被看做計算機的數學，是計算機類各專業的核心基礎課程，也是計算機類專業許多核心課程（如數據結構、編譯原理、數據庫原理、人工智能等）的先導課程，因此，學好離散數學對于計算機類專業的學生具有重要意義。在實際教學實踐中，學生要學好離散數學有一定困難，教師在選擇教學內容和教學方法時也存在問題。

2 基本思路

離散數學是計算機類專業的核心基礎課程，內容多且較抽象，學生學習離散數學時存在一定的困難。早期的離散數學教學過于數學化，如文獻等都是從數學的角度展開離散數學的知識講解，其內容與計算機專業知識聯系不大。隨著教育部計算機科學與技術專業規范的制定與推廣，離散數學課程的教學內容逐漸加強了與計算機專業知識的聯系。但在實際教學實踐中，不同層次的院校仍然存在不少問題。

我們對離散數學課程的教學改革進行了一系列的探索。最初我們采用耿素云老師編著的教材，在大一年級上、下學期各開設4學分的離散數學課程，講述包括數理邏輯、集合論與圖論、組合數學以及抽象代數的知識；為強化學生離散數學基礎，針對計算機科學與技術專業、網絡工程專業和信息安全專業的不同需求，將離散數學課程分為3門課程（數理邏輯、集合論與圖論、代數結構），分別在大一上、下學期開設，其中集合論與圖論作為3個專業共同的必修課程，數理邏輯作為計算機科學與技術專業的必修課程、網絡工程專業的選修課程，代數結構作為網絡工程專業和信息安全專業的必修課程、計算機科學與技術專業的選修課程；為適應大類招生模式和計算類專業轉型，我們在計算機大類的大一下學期開設了6學時的離散數學基礎課程，并從大二開始開設圖論及其應用、代數結構、數理邏輯、組合數學與數論、形式語言與自動機等一系列離散數學課程。

在這一系列探索中，我們遇到了一些問題：首先是課程教學目標定位的問題，其次是教學內容選擇的問題，最后是教學方法與教學模式的問題。

在課程教學目標定位方面，作為研究型綜合性大學的計算機專業，學生要夯實在數學方面的基本素養，這不僅需要掌握有關邏輯與證明、集合、函數與關系、組合計數、圖與樹等方面的基本知識，還需要提高數學思維能力，并且強化與計算機專業知識的聯系。但是目前多數教材都增加內容廣度，減弱內容深度，因此如何明確課程的教學目標是首要問題。為此我們在深入學習專業規范的基礎上，對現有的國內外著名離散數學教材進行了調研與分析，并結合計算機大類培養的特點，選擇Rosen編寫的國外著名教材《離散數學及其應用》作為首選教材。為了進一步強化學生的離散數學基礎，除了給大一下學期學生開設離散數學基礎課程之外，我們還為大二至大三的學生開設圖論及其應用、代數結構、數理邏輯、組合數學與數論、形式語言與自動機等一系列課程。我們將離散數學類課程的教學目標定位在不僅培養學生掌握離散結構的基礎知識，還要培養學生在邏輯思維和計算思維方面的能力上，我們希望能將這兩種思維能力的培養一直貫穿在離散數學類中。

在確定離散數學課程的教學目標后，我們立足于教材對教學內容進行精心選擇，在與課程組老師多次研討的基礎上，形成了離散數學基礎課程以及各門選修課程的詳細教學大綱，列出了基本知識點與可選知識點。

3 措施與效果

由于離散數學課程對計算機專業很重要，高校對離散數學課程的教學改革做了許多探索，近年來教師對培養學生的邏輯思維能力、系統建模能力、計算思維能力也越來越重視。

首先，教材的選擇最重要。我們經過對國內外著名教材的分析，最終選擇Rosen編著的《離散數學及其應用》（英文影印版）作為首選教材。該教材的特點有：①內容比較全面，完全符合教育部計算機科學與技術專業規范對離散數學課程的要求；②例題、習題非常豐富；③每章后面有重要概念和總結；④“寫作項目”( writingprojects)和“編程項目”(computer projects)可作為課程的實驗和設計題目；⑤與計算機專業課程的聯系非常緊密，列出了許多在計算機后續課程（如數字電路設計、數據庫、人工智能等）應用離散數學知識的內容。

該教材有兩個重要特點：其一，教材中不僅有一章專門講述歸納證明和定義的基本知識，而且在組合計數、算法分析、集合與關系等多處介紹遞歸和證明的概念與應用；其二，教材講解了有關算法的基本概念，給出了一種算法描述偽語言。

我們認為提高邏輯思維能力的基本要求應體現在思維嚴謹、條理清晰兩方面。思維嚴謹要求在求解問題或推理時每一步都有邏輯依據；條理清晰要求學生在遇到問題時有比較清晰的求解思路。因此，教師在教學中要適當增加形式化推理的內容，對非形式化的證明技巧分門別類，從直接推理、間接推理、反證法、分情況證明、構造性證明、非構造性證明到歸納證明詳細舉例講授；結合自頂向下的求解思路講解數學證明中后向推理的分析方法，給學生講清楚自頂向下分析與自底向上構造之間的異同，為學生理清問題求解思路，強化學生邏輯思維能力的培養。

在培養學生的計算思維方面，教師可要求學生在理解主要算法思想的基礎上，結合程序設計課程的知識實現其中一些算法，還可結合教材中的“編程項目”指導學生編寫一些程序。在教學實踐中，為了讓學生對教材中的主要算法有直觀的認識，我們與學生一起編寫了一些算法的演示系統。例如，圖1給出了求從一個節點到所有節點最短路徑的Dij kstra算法演示系統，它可給出該算法求解的每一步中間結果，從而使學生對該算法的運行有直觀的理解。實踐表明，這種演示對學生理解算法有比較大的幫助。

為了讓學生更容易抓住重點，且有針對性地完成教材中的習題，教師可對教材中諸多知識點進行梳理，給出知識點之間的關聯關系以及知識點與習題之間的覆蓋關系。例如圖2總結了邏輯等值這一節中重要知識點之間的關聯關系，其中著色的是這一節的知識點，而沒有著色的是前面章節的知識點。圖3給出了部分知識點與習題之間的覆蓋關系，其中菱形框中給出了這一節相應習題的編號。由于我們選擇的是英文影印版教材，因此上述圖中的知識點使用英文概括。初步調查表明，學生比較歡迎這種知識關聯圖，認為有助于梳理教材內容，便于復習和做習題。

基于這種知識點關聯圖，教師可進一步探討課程的教學模式。在課程中，教師可利用這種知識點關聯圖向學生展示要講授的知識點及其關聯關系，對于細節則要求學生自己預習和復習；在課堂上可利用教材例題習題豐富的特點，精選一些相關的習題進行講解。教學實踐表明，這種方式有助于加深學生對知識點的理解，也有助于活躍課堂氣氛，提高學生的學習興趣。我們還對課程的考核做了一些改革，除了期中、期末考試之外，在教學過程中會不定期地進行小測驗。

為了調查教學改革的效果，我們設計了問卷對2012級部分學生進行調研，回收75份有效問卷。37位學生（占50%左右）認為所選教材難度適中，52位學生（占70%左右）認為課程教學內容與計算機專業知識聯系緊密，40位學生（占53%左右）認為提前接觸算法知識對學習計算機專業課程最有幫助。以上結果表明該課程所選教材與教學內容比較符合學生的期待，引起了學生學習離散數學的興趣。41位學生（占54%左右）非常認可我們的教學模式，40位學生（占53%左右）認為上課聽講很有收獲。這些結果表明至少一半的學生認為課堂的教學效果良好。當然學生對幻燈片、作業批改、師生互動也提出不少建議，我們會借鑒并在今后的教學實踐中做進一步的改進。

4 結語

課堂實踐表明我們的教學內容與計算機專業知識聯系比較緊密，很符合學生的期待，超過一半的學生認可我們的教學模式。未來我們將在實踐中不斷改進，繼續把這種課程教學研究方法運用到其他課程中。

參考文獻：

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篇6

隨著網絡和信息技術的不斷發展，計算機在教育中的應用范圍越來越廣，數字化學習的普及和研究得到進一步的深入。網絡的在線學習系統平臺的功能側重點已由注重對學習資源的管理及應用共享，轉而注重強化管理學習者學習活動過程[1]。這種趨勢也反映在遠程教學、移動學習等基于網絡的學習模式中，在這些學習模式中，教師將課程實施的重點從內容建設轉向應用分析，逐步形成以學習者為中心的學習活動設計導向，強調學習者學習過程的優化和良好的師、生、學習資源的交互方式。

具體到課程實施環節，如何在數字化學習環境中實現信息技術與教學活動的深度融合以促進學習效果的提升？本研究探索將結構分析方法運用到學習者的學習活動中，通過對學生概念形成過程的分析，針對學生的個性化特征，制定符合個性化學習的最優化路徑，動態調整學習活動序列，提升優質教學資源的利用水平。

一、相關概念的分析及問題的提出

1.結構分析法的介紹

結構分析法是一種對復雜系統中各要素間的關系，以視覺的幾何學結構對系統的結構進行分析的方法[2]。在教學研究中的應用主要集中在分析教育系統中獲取的數據，并將其結果用于教學實踐。結構分析法可分為圖表法和圖示法兩種不同類型的方法。從運用數學方法的角度分類來看，圖表法主要使用矩陣運算處理，而圖示法則是利用圖論，特別是利用有向圖進行處理。

用于教育信息的結構分析法主要有：

（1）教材結構分析法

教材結構分析法是一種將教材分解為許多知識要素，并將要素間的順序關系以圖論的方法進行表示和分析的結構分析法。

（2）S-P表分析法

通過教學測試，可以得到學生與測試得分（1表示正答，0表示誤答）組成的得分矩陣。S-P表法將學生序號按得分的正答率順序排成一覽表，對變換后的得分矩陣進行結構分析。

（3）項目結構關聯分析法（Item Relational Structure Analysis）

項目結構關聯結構分析是一種基于測試得分，以圖論的方法表示項目間的順序結構，對項目的結構進行分析、表示的方法。

（4）意義結構分析法

這種分析方法分析以一定評價尺度構成的問卷獲得的數據，用圖結構表示各個項目間的順序關系，并對這種關系進行結構分析。

（5）社會調查分析法

社會調查分析法是基于描述人際關系的心理測試數據，將人們直接的聯系、排斥等關系，以圖論的方法進行分析和表達的結構分析方法。

（6）尺度分析法

這種方法將基于某種評價尺度得到的表示態度的數據組成數據序列，在此基礎上構成態度測定的尺度，據此進行系統的結構分析。

2.學習活動序列在數字化學習中的應用分析

數字學習環境下主要利用網絡教學平臺或學習管理系統開展教學活動，影響較大的如Blackboard、Sakai、Moodle、LAMS平臺等，這些學習管理系統或平臺大致經歷了從內容管理系統（CMS，Content Management System）到學習管理系統LMS（Learning Management System），再到學習活動管理系統（LAMS，learning active management system）的發展歷程，平臺的發展重點從注重學習內容、資源的管理轉變到對學習活動的分析和管理[3]。

以澳大利亞Macquarie大學開發的學習活動管理系統（lams）為例，它是一個設計、管理和實施在線協作學習活動的網絡學習平臺。教師從創建者界面中選擇活動單元，將活動單元連接起來就產生了學習序列。由于其強調“活動”和“序列”，而“活動”又處于“內容”的上一個層次，因此，學習管理系統的架構和運行機制必然要發生改變，學習活動序列將替代學習內容成為教和學的中介。

在學習活動序列中，包含的要素主要有以下幾點：活動要素、角色要素、資源要素、規則要素?；顒右厥菍W習活動序列中的基本要素，單個活動要素要按照一定的邏輯性和事件性組成學習活動序列；角色要素是指參與學習活動的個體或小組，包括教師、學生；資源要素是在學習活動中每個活動要素中所包含的學習資源和環境；規則要素則約束管理學習活動的邏輯性和保證其實施的準確性。其中規則要素因其面對不同學習者表現的動態性、多角色變換的復雜性和制約因素的多維度性成為學習活動序列能否實現個性化學習、實現自適應路徑重組、提高學習活動的針對性和智能化的關鍵。

本文探索使用結構分析法，基于學習者不同階段的測試得分，以圖論的方法表示項目間的順序結構，對項目的結構進行分析、表示，輔助教師進行學習活動動態調整。

二、項目結構分析法的應用研究

學習活動序列的設置一般基于教材結構和教學設計方案，而教師對于學生的需求和能力進行深入的了解后，才可能做出合適的課程計劃和決策。本研究使用IRS分析法對學生的知識能力水平進行測評分析。

IRS分析（Item Relational Structure Analysis）是一種用于教育信息處理的結構分析方法，它基于學生對測試問題的掌握程度排序，對問題間的關聯層次結構進行分析。通常是以有向圖來表示測試項目之間的關聯結構。順序系數是IRS分析法在判定項目間的順序程度時制定的表示問題間順序程度的標度，通常依據問題的實際情景，為標度設置一定的閥值，當達到這個閥值時就認定問題間的順序關系成立。

以某次學習者測試得分數據表（見表1）和反映問題之間關系的四分表（如表2）來說明公式中的各個參數。在表2問題間關系的四分表中，N為參加測試的學生樣本個數；a為問題Pi和Pj都答對的學生數量；b為答對Pi而答錯Pj的學生數量；c為答對Pj而答錯Pi的學生數量；d為問題Pi和Pj都答錯的學生數量。

在順序系數的表達式中，其分子表示測試中對問題Pi的誤答，同時又是問題Pj的正答者在所有被測學生中所占的比例；當分子部分非常小時，rij趨于1，表示從項目Pi到項目Pj的順序關系成立。其分母表示在問題Pi與問題Pj相互獨立的情況下，問題Pi的誤答者同時又是問題Pj的正答者所占的比例，這個比例數值表示了與從Pi到Pj順序關系的相反方向；從順序系數的定義公式可以看出，若順序完全成立，rij將為最大值1。如果問題Pi與問題Pj之間相互獨立，沒有順序關系，rij很小，順序系數趨近于0。

IRS分析法中的閥值是判斷順序關系是否成立的一個重要參數，當順序系數大于確定的閥值時，認為問題間的順序關系成立；當順序系數小于閥值時，就可以判定問題間的順序關系不能夠成立[4]。在IRS圖的制作過程中，可以根據實際教學問題的情景需要，讓閥值在一定取值范圍內上下浮動。當閥值設置較高時，問題間的順序關聯關系成立較少，這樣可以把問題間關聯程度較大的問題分析出來。當閥值設置較低時，可以更全面地分析問題間的關聯與層級特性。

通過計算得分數據的項目順序系數表（如表3），這里取閥值為0.5后得到IRS矩陣（如表4），依據IRS矩陣就得到表示問題間層級結構的IRS圖（如圖1）。根據圖示可知，問題5和6之間呈正相關性，處在同一層級，它們與問題4和1成層級單調性。同樣，問題3、2、1依次也成層級單調性。通過獲取學生信息、制定學習目標、進行活動設計、制定學生評估的過程，可以充分理解學生對于學習目標和內容的理解程度，通過教學實驗的結果來看，依據學生測試的測試結果得到的問題層級關于往往與課程的知識點關系結構存在一定的差異，例如有學者進行過學習者英語語法學習的研究：“動詞的時態一直被認為是英語語法教學的重點，但經過診斷測試，發現學生對動詞時態的規則掌握扎實，卻在不同語境中語言表達的應用情況不令人滿意，這為教學活動中動詞時態知識學習的調整提供了依據。”[5]基于本研究的結論，教師可以通過不斷調整活動的結構和元素來實現最優的學習效果，過程示意圖見圖2。

綜上所述，教師在進行學習活動設計過程時，通過使用IRS分析法分析學生各個階段的測試數據，基于學習者的學習行為特點來制定教學目標和教學策略，可以實現以學習者為核心的教學活動設計思想，滿足了學習者的情感以及認知的需求，依據這種學生測試結果的客觀評價方式為設計高效、優質的學習活動系統提供了參考。

本研究基于結構分析法，從微觀層面分析學生的學習數據，通過形象直觀的分析結果指導教師設計學習活動序列，這為個別化教學的實施提供了參考和借鑒。下一步的工作將通過計算機程序的設計，實現學習活動序列的自適應調整，實現數字化學習環境中教學活動調整的智能化和自動化。

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參考文獻

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篇7

Abstract:The advancedmathematics is an important chemical major foundation course. In this paper, Combinedwith chemical major, Elementary study on the learning effect improvement of advanced mathematics was done.Attempts to help students improve the efficiency of learning.

Key words:chemical education;the advanced mathematics; teaching中圖分類號：G648文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）12-0292-01高等數學作為高等院校的基礎學科,承擔著培養學生數學能力,提高學生邏輯思維水平,為專業課程提供理論基礎的重要任務。而隨著化學學科與數學學科的交叉日益加深,定性定量分析發展迅速,化學對數學的知識需求日益增多。例如,高等數學的理論和方法在《物理化學》中的概念及公式的推導過程起著重要作用,在《化學熱力學》及《化工基礎》課程中數學知識的應用貫穿整個課程。具體地，考察化學熱力學中反應熱與溫度和壓力的關系、用等壓法測定電解質溶液的活度系數、熱力學中氣體的焦耳-湯姆遜系數的描述等都要用到高等數學中的微積分知識。而化學動力學中連串反應的速率方程、氫原子與類氫離子的薛定諤方程則要利用到高等數學中的常微分方程和偏微分方程的知識。利用群論知識還可以處理苯分子的結構、利用矩陣還可以描述分子結構中的對稱操作等。此外,還有許多數學知識,如場論、概率論、圖論、復變函數等在物理化學中的應用也都十分廣泛。本人長期擔任化學教育專業高等數學的教學工作,認為提高化學專業高等數學的教學效果可以從以下幾個方面進行探討。

1.突出高等數學教學與化學專業知識的聯系,充實教材內容

目前高等數學教材的專業特色不夠突出,教學中缺乏與專業知識相結合的訓練要求,學生難以達到學以致用水平。所用教材 雖然系針對對高等數學有中等程度要求的專業（如化學，生物學，地理學，心理學等專業）編寫的教材，但書中列舉的實例與化學工程聯系頗少，對學生缺乏必要的引導，因此學生難以將所學的高等數學知識應用到化學工程中去.教師要對教材的實際運用功能進行不斷充實與及時更新。例如：在講解導數概念時，可結合化學反應速度來深刻理解導數的本質。

設一化學反應，其反應物的濃度 是時間 的函數 。當時間變量在時刻 有一增量 時，反應物的濃度也有一相應的增量 ，因而反應物的濃度從時刻 到時刻 這段時間間隔內的平均變化率為 ，當 時，若平均變化率 的極限存在，則其極限 就是反應物濃度在時刻 的瞬時變化率，也稱為在時刻 的化學反應速度。通過該例可讓大一學生更直觀的理解導數的概念在化學中的重要作用。

2.提高學生的學習主動性，培養學生解決具體的化學問題的能力

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【中圖分類號】G65 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0010-02

1.引言

隨著創客思想的普及，創客教育受到越來越多的教育者的思考與重視，2009年美國總統奧巴馬宣布啟動教育創新行動，并于2012年設立創客教育計劃，同時創客教育在全球范圍內掀起了將創客教育引入學校教育的浪潮，我國教育部2015于年了關于“十三五”期間全面深入推進教育信息化工作的指導意見，鼓勵探索STEAM教育，創客教育等新模式，努力推進教學創新的發展，而師范類專業作為教育事業的主要力量，融入創客教育理念是非常重要的。

2.創客教育在師范類專業的應用

2.1 師范類專業概述

師范類泛指一類高校而不是具體某些專業，現在師范類高校融合多種學科，成為綜合類高校，因此，師范學校中并不是所有專業都屬于師范類專業，師范類專業主要包括數學、物理、化學、中文、外語、政治、體育等與中小學教育科目相關的專業，同時中小學教育的科研學科如教育學、心理學等也屬于師范類專業。

2.2 創客教育概述

“創客行動”是由美國興起的鼓勵人們利用身邊各種材料及計算機相關設備、程序以及其他技術性資源，通過自己動手或與他人合作創造出獨創性產品的一種行動，“創客行動”基于對技術的應用，面向技術類產品的生成，在當前社會技術不斷創新、技術產品不斷豐富的背景下，越來越受到研究者與教育者的關注，將“創客行動”融入“創客教育”，使學生實現創造性學習。

創客教育旨在為所有中小學生提供適宜的用于創造的環境、資源、機會，特別是借助技術工具與資源讓學生能夠將學習過程融入創造過程，實現基于創造的學習，在創造過程中提升學科的學習質量，尤其是提升科學技術、工程、數學、藝術等學科的學習信心，投入基于創造的學習過程中，可以培養自己的判斷性思維、創新思維與解決問題的能力。

2.3創客教育在師范類專業中的應用

師范類專業主要是服務于中小學教育的科目以及教育研究的專業，將創客教育融入師范類專業中，實現教師或研究者的創新教育和研究，使學生更好地實現創造性學習，本文主要探討師范類專業中應用較廣的數學教育、科學教育、現代信息技術教育以及中小學教育中的創客教育。

2.3.1數學教育中的創客教育

數學就其本身的知識特點為實踐活動提供更多的創新機會，為創客教育的實施提供極好的載體，數學教育專業需要掌握數學的基礎理論知識和教學技巧，掌握現代教育技術，能夠勝任中小學數學教學的教育工作，數學專業不僅要學習相關的數學知識如：數學分析、高等數學、解析幾何、概率與數理統計等，還要掌握計算機應用基礎、教育學以及心理學等服務于教學事業的學科同時為創科教育提供基礎，數學中的創客教育主要是計算機編程的應用，集合論是離散數學中的重要的一部分，在數據庫中有廣泛的應用，利用關系理論完成數據庫網絡型到關系型的轉變，數據庫中的數據易于存儲和處理，邏輯結構簡單；數學圖論中二叉樹在計算機中有很重要的作用，路由選擇算法、桶排列算法等都是使用數學中的圖論；有限機、開關線路的計算等在糾錯碼的應用很多，數據通信中常使用二進制數字信號進行轉移，常采用糾錯碼避免傳輸中的錯誤。

2.3.2科學教育中的創客教育

科學教育旨在指導學生獲得科學知識的同時培養學生學科學、用科學的能力，對于不同學習階段的教育，其教學內容也有所不同，對于低年級的教育，科學教育旨在用簡單的實驗操作對具體事物進行初步分析綜合，主要培養其動手能力，應用創客教育理念，低年級階段的科學教育應該利用人類對自然界的簡單利用開展科學實驗，如利用廢物進行回收利用的手工活動，培養學生的動手能力和創新思維，讓學生在創造中學習，同時教育者也實現了創客教育；中年級的科學教育需要利用簡單的儀器進行初步的定量觀察，并用歸納、概括的方法形成簡單的概念，因此基于創客教育理念需要開創“創客空間”，利用多媒體技術和計算機軟件進行創客實驗，如在學習3D打印中的數學建模、在掌握電路設計原理的基礎上利用虛擬軟件在模擬電路的各節點的電壓、電流及經過的脈沖信號；對于高年級的科學教育，需要實現較高的操作能力和創造力，以項目為主，以團隊的形式開展任務，對于創客教育的要求比較高，需要具備測試測量、控制、仿真、快速開發、跨平臺的圖形化語言的開發環境以及無人機技術的學習，包括圖像信號和控制信號的無線傳輸及失控狀態下的無人機執行返航程序的開發等都可作為創客活動。因此，科學中的創客教育以科學為主，在理論知識的教育上開展以科學技術為手段的創客活動，開創創新思維，提高動手能力。

2.3.3現代信息技術教育中的創客教育

篇9

作者簡介：陳蕾（1975-），男，江西宜春人，南京郵電大學計算機學院，副教授；張迎周（1978-），男，安徽合肥人，南京郵電大學計算機學院，教授。（江蘇 南京 210003）

基金項目：本文系南京郵電大學教學改革項目（項目編號：JG00411J76）的研究成果。

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）13-0118-02

信息技術的快速發展使得以數理邏輯、組合數學、離散概率、集合論、代數系統和圖論等為代表的離散數學分支越來越受到人們的重視。作為計算機專業和通信工程專業低年級學生的一門重要核心課程，“離散數學”課程不僅具有一般數學類課程所共有的理論性強、概念多、高度抽象等特點，而且還具有計算機類課程所具有的面向應用的特點，由于現有課程教學內容缺少應用實例分析和課程實踐環節，學生在學習過程中往往會有畏難情緒，且普遍感覺到枯燥無味，因而缺乏學習的動力和興趣。

近年來，由美國著名計算機教育學者Jeannette M.Wing教授提出的計算思維為我們提供了一種改革離散數學教學內容和教學模式的新視角。[1]計算思維是指運用計算機科學的基礎概念去求解問題、設計系統和理解人類行為，它與數學思維非常相似，只是計算思維是建立在計算過程的具體實現和約束之上，并由程序控制計算機進行操作完成。計算思維的核心是問題抽象、數學建模和自動化求解。[2]從計算思維的角度來看，雖然離散數學由多個相對獨立的課程模塊組成，但這些內容本質上都是為了訓練學生運用離散結構構建問題的抽象模型并在此基礎上構造算法和解決問題的能力。[3]因此，一方面“離散數學”課程為我們培養學生的計算思維能力提供了一個很好的平臺，另一方面計算思維能力的培養也反過來促進了“離散數學”教學內容和教學模式的改革。本文結合筆者多年的離散數學教學實踐經驗，以強化學生的計算思維能力培養為主要目標，對離散數學在本科教學中的教學內容、教學模式、實踐環節和考核方式四個方面進行探討，并進一步提出加強該課程教學改革的設想。

一、融入計算思維能力培養的“離散數學”課程教學內容

離散數學以離散結構及其相互關系為主要研究對象，在計算機科學與技術領域有著廣泛的應用，是計算機專業和通信工程專業諸多專業課程必不可少的先修基礎課程，涵蓋的內容涉及到邏輯學、集合論、代數系統、圖論等多個現代數學分支。通過離散數學的學習，學生不但可以掌握各種離散結構的描述和處理方法，而且可以加強抽象思維和邏輯思維的培養，提高自動化問題求解的能力，為未來開展創新型研究工作打下扎實的基礎。

根據離散數學所具有的特點以及南京郵電大學（以下簡稱“我校”）課程體系的設置情況，我們對傳統的離散數學教學內容進行了調整，指導思想是讓學生不僅學會一些特定的數學知識并知道怎樣應用，還應教會學生怎樣進行數學邏輯思維，更重要的是加強學生的計算思維能力培養。為此，本課程力求將數學推理、組合分析、離散結構、算法思想、應用與建模這5個重要的主題交織在一起，引入應用實例和課程實踐環節。該課程安排總學時64學時，其中講課60學時，課內實驗4學時，課外實驗12學時（選做），主要內容和學時分配如表1所示。課程具體內容涵蓋數理邏輯、集合與函數、組合數學、代數系統、圖論及離散概率論等六個分支。在學時安排上，鑒于我校計算機專業在二年級上學期已經開設了“概率論與數理統計”課程，因此離散概率論的相關內容以學生自學為主，同時為了體現計算思維抽象和自動化的思想，我們補充了一個有趣的“基于貝葉斯理論的垃圾郵件過濾器的設計與實現”應用實例。此外，還引入了初等數論和計數的基本內容，增加了RSA密碼系統的設計與實現應用實例分析，這部分內容也以學生自學為主、教師講授為輔，同時特別安排了4個課時的集中輔導答疑。

二、融入計算思維能力培養的“離散數學”啟發式教學模式

“離散數學”是一門內容涉及面極為廣泛的課程，這些內容不僅自成體系，而且每部分都包含大量抽象的概念、定理、公式以及各種推理規則，兼具理論和應用相結合的特點。因此傳統的數學類課程或計算機類課程所采用的常規教學手段都無法適應現在的離散數學教學要求。

針對“離散數學”課程所具有的理論和應用相結合的特點，從強化學生的計算思維能力培養著手，采用了啟發式教學模式，以充分調動學生的學習積極性。例如，一般教材中在講述如何判定關系的傳遞性時，往往提到傳遞的特征復雜，不易從關系矩陣和關系圖中直接判定，而且大部分學生都是根據傳遞性的定義采用窮舉的方法來判定，既耗時又容易出錯。這時可以啟發學生從傳遞閉包的角度來判定關系的傳遞性，如果一個關系滿足傳遞性，那么它的傳遞閉包就是它本身，而求傳遞閉包可以采用簡單的Warshall算法，更進一步，可以據此啟發學生將此知識點和圖的連通性判定聯系起來，當一個圖表示為鄰接矩陣時，如果將鄰接矩陣看成是結點集合上的鄰接關系圖，則圖的連通性可以通過求解鄰接關系的傳遞閉包來判定。

再比如，學生在學習代數系統時，我們可以啟發學生將代數系統和面向對象程序設計語言的類（Class）結構聯系起來，告訴學生高級語言中的類結構就可以看成是一種代數系統，同時引導學生回憶在中小學階段學習過的初等代數（涉及到加、減、乘、除運算）也是一種代數系統。因此學生容易得出結論：代數系統可以根據需要任意地構建。但這樣一來就可能存在非常多的代數系統。為了盡可能抽象地研究代數系統具有的性質，我們進一步引入同構的概念，而同構又是一種等價關系，在等價關系的基礎上可以定義等價類。由于代數系統的研究對象不是集合中的元素，而是定義在集合上的各種抽象運算，對于“元素本身是什么”這樣的問題并不關心。因此，基于代數系統等價類的概念，教師可以進一步啟發學生去探尋和理解布爾代數與等價類、命題邏輯之間的聯系。在教師的引導下，學生會驚喜地發現看似獨立的數理邏輯、集合、關系、函數與代數系統之間其實是有聯系的，如果再輔以一些應用實例的建模與分析，就會很容易激發起學生學習離散數學的興趣。

三、融入計算思維能力培養的“離散數學”課程實踐環節

作為一門專業基礎課，“離散數學”強調的是對概念、定理、公式的理解。在教學實踐中，學生普遍認識不到這門課程的重要性，覺得這門課程與計算機科學聯系不起來，看不到離散數學知識在計算機科學中的具體應用，從而缺乏相應的學習興趣，進一步導致計算思維能力得不到良好的訓練。因此利用計算機進行離散數學實驗教學，讓學生主動參與發現、探究和解決問題，從中獲得解決實際問題的過程體驗，產生成就感和自豪感，進而開發學生的創新潛能。這不僅僅是開展離散數學研究性學習的一種有效方式，而且也是促進學生計算思維能力培養的一種有效途徑。“離散數學”課程的實驗名稱、學時分配及基本內容和要求如表2所示，在4學時的課內必做實驗和4學時的課外選做實驗中，每個學生要完成相應的實驗題，通過獨立思考、與同學討論、老師輔導答疑，選擇相應的方法，進行題目的分析、編程及測試工作，并按要求寫出實驗報告。

表2 “離散數學”課程實驗內容、學時分配及基本要求

序號 實驗項目名稱 學時 實驗內容和要求 每組人數 備注

1 構造合式公式的真值表 2 對給出的任意一個合式公式（不超過四個命題變元），編程實現自動畫出其真值表 1 課內必做

2 判別圖的連通性 2 給定n個結點的有向圖鄰接矩陣，判斷該圖是否為強連通、單向連通或弱連通 1 課內必做

3 RSA密碼系統設計與實現 6 編程實現RSA的加密和解密過程，加深對公鑰（非對稱）密碼算法的認識 5 課外選做

4 貝葉斯Spam過濾器設計與實現 6 編程實現一個適于客戶端使用的貝葉斯垃圾郵件過濾器原型系統 5 課外選做

四、融入計算思維能力培養的離散數學課程考核方式

為了考查教師的教學效果和學生對知識的掌握程度，通常采用考試作為教學活動必不可少的重要環節，這在一定程度上可激發師生的教學積極性，提高教學與學習效果。因此，隨著本課程實踐訓練環節的加強，我們對課程考核方式進行了相應的改革。目前采用綜合考查的多元成績評定考核方式。理論教學環節采取平時考查與期末考試相結合的方式。平時考查包括課堂考查、作業（課堂或課后思考題、課堂討論）等方面，其成績占課程總評成績的25%。期末考試占課程總評成績50%。實踐教學環節考核內容包括實驗和實踐，其中，實驗考評內容包括實驗報告、實驗操作、綜合素質考核等，總評成績為每次加權平均，占課程總評成績20%；實踐考評學生對基本算法的編程能力和自主創新能力，學生結合教學內容，通過自由選擇綜合實驗或參與教師科研來完成，占課程總評成績5%。這種考核方法更能全面地反映學生在知識掌握和知識應用方面的綜合學習情況。

五、結論

離散數學不僅是計算機技術的支撐學科，更是提高學生計算思維、邏輯思維和創新思維能力以及形式化表述能力的有效途徑，離散數學課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現在計算機科學技術及相關專業的各個領域。

參考文獻：

篇10

離散數學課程是計算機科學與技術系各專業的一門重要的基礎課程，也是計算機科學基礎理論的核心課程。本課程介紹計算機科學與技術系各專業所需要的離散數學基礎知識，為進一步學習計算機科學的基本理論和方法、學好專業課奠定基礎，內容包括數理邏輯、集合論、代數結構與布爾代數、圖論和在計算機中的應用共五部分。該課程是培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、縝密概括能力以及分析和解決實際問題能力的主干課程，對學習其他諸多課程，具有重要的指導作用。離散數學教學內容具有知識點多、散、抽象等特點，加之許多學生不能認識到該課程的重要性，缺乏學習興趣和學習主動性，不僅忽視該課程的學習，甚至害怕這門課程。因此，創新教學方法，提高學生自主學習的積極性，對提高學生的能力、提升教學質量和水平，具有重要的意義。作者在離散數學教學和實踐中，積累了若干經驗和做法，僅供大家參考。

1 引導學生提高對離散數學課程應用性的認識，激發學生學習的興趣和愛好，增強汲取知識的自主性

離散數學課程是一門基礎性課程，由于許多學生并不能認識到離散數學課程對后續諸多主干課程的指導性作用，看不到該課程的實際應用價值，加上該課程知識比較難而且抽象，很多學生對該課程缺乏學習興趣和學習主動性，對該門課程只是應付，甚至根本不愿意去學習。

學習離散數學課程對學生今后的學習和工作，具有重要的作用，例如，對數據結構、操作系統、數據庫、編譯原理、軟件工程等后續課程學習的指導作用;培養學生的抽象思維能力和縝密的邏輯推理能力，并為學生今后處理離散信息，提高專業理論水平，從事計算機的實際工作提供必備的數學工具;通過學習，可以掌握數理邏輯，集合論，代數結構和圖論的基本概念和原理，并會運用離散數學的方法，分析和解決計算機理論和應用中的一些問題等。學習主動性是學生的力量之源，因此，引導學生充分認識學習離散數學課程的作用，能夠激發學生學習的愛好和熱情，提升學生學習的積極性和主動性，從而使學生學有成效。

2 認真備課，合理準備教學內容和安排教學環節，優化教學方式方法

備好課是教學取得預期效果的前提和基礎，針對學生學習具體情況，合理準備教學內容和安排教學環節，使用恰當的教學方法，在教學中可以起到事半功倍的效果。

(1)合理地準備教學內容。根據課程教學大綱和離散數學課程定理定義比較多、知識比較抽象的特點以及學生的實際情況，準備深度和廣度適合學生特點的教學內容。

(2)合理地講解課程內容，重難點突出講解，注意輕重緩急。對于離散數學中比較重要、比較抽象的概念和定理，如邏輯的推理理論、關系的性質、群、圖等，認真分析，用多種方式和方法深入講解，可以使用解析法、圖示法、矩陣法舉實例等多種方法講解，例如對關系的對稱性質的講解中，可以使用矩陣法進行講解，判斷一個關系是否對稱，只需觀察它的關系矩陣是否對稱即可，再如對關系的傳遞性質的講解中，可以使用關系圖進行講解，判斷一個關系是否傳遞，只需觀察在關系圖中，當x到y有一條路徑時，x與y是否有關系即可。對于比較容易理解和掌握的內容，可以一筆帶過。這樣，學生對所學內容就會有重點地學習，主次分明，學生不僅可以對所學內容掌握透徹，更能熟練把握離散數學中分析問題和解決問題的思路、方式和方法。

(3)啟發式教學和教師講授相結合。很多人認為，大學教學課時緊，內容多，關鍵靠學生自主學習，所以，大學教學以教師的講授為主，不需要通過提問、討論等方式進行教學互動。筆者認為這是不全面的。如果教師不顧學生的理解情況，只顧在講臺上講授知識，課堂氛圍會很沉悶，很多同學不能專注于該門課程的學習，經常走神，教學很難達到預期的效果。因此，有針對性地提問和展開討論，不僅能夠培養學生的思考能力，更能調動學生學習的興趣和積極性，從而使教學達到最佳效果。

然而，由于離散數學課程在教學難度、課堂教學時間等方面的原因，很多學校都出現師生、學生之間的交流較少，致使學生對該門課程缺乏興趣，教學效果不佳。所以，教師有必要針對課程中的主要問題或疑難問題適時地提問或者讓學生展開討論，鼓勵他們進行獨立思考，各抒己見，引導他們逐步深入地對問題進行實質性地分析，必要時，教師對其進行引導，及時總結，使教學達到預期效果。

3 合理布置作業，認真批改作業，有針對性地安排習題課和課后答疑

為了強化學生能力的訓練，培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、實際問題的解決能力等，在保證作業數量的同時，更要提高布置作業的質量，增加典型簡答題、討論題、推理題、實際應用題等習題在作業中的分量，使學生在掌握各種基本知識和基本技能的同時，提高自身的綜合能力。當然，布置作業是一回事，學生能否認真完成作業，是預期目標能否實現的關鍵所在，認真檢查和批改作業，是督促學生學習的主要途徑，也是教師了解學生理解和掌握所學課程情況的主渠道。必要時，教師可以批改一部分作業，其他作業讓同學們之間互相檢查和批改，不僅可以督促學生學習，更能讓學生在批改其他同學作業時逐步認識到自身的缺陷和不足，以備今后更有針對性地學習。

教師在作業檢查和批改過程中發現的主要問題和疑難以及學生提出的有代表性的問題，有必要安排習題課進行講解，幫助學生對解決疑難，加深對所知識的理解。對于學生比較爭論的問題，可以展開討論，鼓勵學生大膽發言，培養學生探索未知的精神和創造性解決實際問題的能力。

因此，上好離散數學課，關鍵是根據學生具體實際，有針對性地安排教學內容，合理使用教學方式方法，最大限度地激發學生的學習興趣，充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，達到教與學和諧。

參考文獻

[1] 屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數學[M].北京:高等教育出版社.2008.

[2] 黃巍，金國祥.”離散數學”課程教學改革的探討[J].中國電力教育，2009(8):82-83.